Номер 18, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Угол $C$, противолежащий стороне $c$, равен $120^{\circ}$. Докажите, что выполняется равенство $c^2 = a^2 + ab + b^2$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов. Для стороны c и противолежащего ей угла C формула имеет вид:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Согласно условию задачи, нам дан треугольник со сторонами a, b, c, и угол C, противолежащий стороне c, равен 120°.

Подставим значение угла $C = 120°$ в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120°)$

Теперь вычислим значение $\cos(120°)$. Используя формулу приведения $\cos(180° - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°)$

Так как значение косинуса 60° является табличным и равно $\frac{1}{2}$, то:

$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим найденное значение косинуса обратно в наше уравнение:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{1}{2}\right)$

Упростим выражение в правой части. Умножение $-2ab$ на $-\frac{1}{2}$ дает положительный результат:

$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = a^2 + b^2 + ab$

Для соответствия с выражением из условия задачи, поменяем местами слагаемые:

$c^2 = a^2 + ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что данное равенство выполняется. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $c^2 = a^2 + ab + b^2$ доказано с помощью теоремы косинусов при подстановке в нее угла $C=120°$, так как $\cos(120°) = -1/2$.