Номер 25, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Для данных точек $A$ и $B$ укажите геометрическое место точек $C$, для которых угол $ACB$:

а) острый;

б) тупой.

Для определения искомого геометрического места точек (ГМТ) воспользуемся свойством вписанных углов. Геометрическим местом точек C, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом ($\angle ACB = 90^\circ$), является окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре (за исключением самих точек A и B).

Эта окружность разделяет всю плоскость на три области:

• точки на самой окружности (угол прямой);
• точки внутри круга, ограниченного этой окружностью (угол тупой);
• точки вне этого круга (угол острый).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) острый

Угол $\angle ACB$ является острым, то есть $\angle ACB < 90^\circ$. Это условие выполняется для всех точек C, которые лежат вне окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Кроме того, точка C не должна лежать на прямой AB, так как в этом случае точки A, B и C будут коллинеарны, и угол $\angle ACB$ будет равен $0^\circ$ или $180^\circ$, что не является острым углом в контексте треугольника.

Таким образом, искомое ГМТ — это вся плоскость, из которой удалён замкнутый круг (окружность и ее внутренняя часть) с диаметром AB, а также удалены все остальные точки прямой AB.

Ответ: Геометрическое место точек C, для которых угол $\angle ACB$ острый, — это множество всех точек плоскости, лежащих вне круга с диаметром AB, за исключением точек прямой AB, не принадлежащих отрезку AB.

б) тупой

Угол $\angle ACB$ является тупым, то есть $\angle ACB > 90^\circ$. Это условие выполняется для всех точек C, которые лежат внутри окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Однако, если точка C лежит на самом отрезке AB, треугольник ABC вырождается в отрезок, и угол не определен. Поэтому точки отрезка AB необходимо исключить.

Таким образом, искомое ГМТ — это внутренняя область круга (открытый круг), построенного на отрезке AB как на диаметре, за исключением точек самого отрезка AB.

Ответ: Геометрическое место точек C, для которых угол $\angle ACB$ тупой, — это внутренняя область круга с диаметром AB (круг без своей граничной окружности), из которой исключены точки отрезка AB.