Номер 29, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В угол $ACB$ вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Найдите величину угла $ACB$.

Пусть окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $ACB$. Обозначим точки касания окружности со сторонами угла $AC$ и $BC$ как $M$ и $N$ соответственно. Эти точки делят окружность на две дуги: меньшую дугу $\cup MN$ и большую дугу $\cup MN$.

Согласно условию, градусные меры этих дуг относятся как $5:7$. Полная окружность составляет $360^\circ$. Пусть градусная мера меньшей дуги равна $5x$, а большей — $7x$. Тогда мы можем составить уравнение:

$5x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

Градусная мера меньшей дуги $\cup MN = 5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Градусная мера большей дуги $\cup MN = 7x = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $CMON$. В нем:

• $C$ — вершина угла.
• $M$ и $N$ — точки касания.
• $O$ — центр вписанной окружности.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, $OM \perp AC$ и $ON \perp BC$. Это означает, что углы $\angle CMO$ и $\angle CNO$ прямые:

$\angle CMO = 90^\circ$

$\angle CNO = 90^\circ$

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $CMON$ имеем:

$\angle ACB + \angle CMO + \angle MON + \angle CNO = 360^\circ$

Центральный угол $\angle MON$ опирается на меньшую дугу $\cup MN$, поэтому его величина равна градусной мере этой дуги:

$\angle MON = 150^\circ$

Подставим известные значения в уравнение для суммы углов четырехугольника:

$\angle ACB + 90^\circ + 150^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle ACB + 330^\circ = 360^\circ$

$\angle ACB = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$

Другой способ решения заключается в том, что для углов четырехугольника $CMON$ справедливо соотношение $\angle ACB + \angle MON = 180^\circ$, так как два других угла прямые. Отсюда:

$\angle ACB = 180^\circ - \angle MON = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.