Номер 34, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Радиус $OA$ окружности равен 6. Через середину $E$ радиуса проведена хорда $CD$. Найдите произведение отрезков $CE$ и $DE$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Это свойство, также известное как теорема о степени точки относительно окружности, гласит: если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

В данной задаче у нас есть хорда CD. Чтобы применить теорему, нам нужна вторая хорда, пересекающая CD в той же точке E. В качестве второй хорды мы можем рассмотреть диаметр окружности, который проходит через точку E. Давайте проведем диаметр через радиус OA. Обозначим концы этого диаметра точками F и G, так что точка A лежит на этом диаметре.

Пусть центр окружности — точка O. По условию, радиус OA равен 6.$R = OA = 6$.Точка E — середина радиуса OA. Следовательно, она делит его на два отрезка равной длины:$AE = \frac{OA}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Две хорды — CD и диаметр FG — пересекаются в точке E. По теореме о пересекающихся хордах, мы можем записать:$CE \cdot DE = FE \cdot EG$.

Теперь нам нужно найти длины отрезков FE и EG. Эти отрезки являются частями диаметра FG.Отрезок FE совпадает с отрезком AE, так как точка A является одним из концов диаметра. Таким образом, $FE = AE = 3$.Отрезок EG — это оставшаяся часть диаметра. Его длину можно вычислить как сумму длины отрезка от центра до точки E и длины радиуса от центра до точки G.Найдем расстояние от центра O до точки E:$OE = OA - AE = 6 - 3 = 3$.Длина отрезка EG равна:$EG = OE + OG = 3 + R = 3 + 6 = 9$.

Теперь мы можем вычислить искомое произведение:$CE \cdot DE = FE \cdot EG = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27.