Номер 38, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Радиус окружности равен 5 см. Точка $E$ удалена от центра окружности на 3 см. Через точку $E$ проведена хорда $CD$, равная 8 см. Найдите отрезки, на которые точка $E$ делит хорду $CD$.

Пусть O — центр окружности. Согласно условию задачи, радиус окружности $R = 5$ см. Через точку $E$, удаленную от центра на расстояние $OE = 3$ см, проведена хорда $CD$ длиной 8 см. Необходимо найти длины отрезков $CE$ и $ED$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Проведем из центра окружности O перпендикуляр $OH$ к хорде $CD$. Точка $H$ будет лежать на хорде $CD$.

2. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $CD$.
$CH = HD = \frac{CD}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHD$. В этом треугольнике:
- Гипотенуза $OD$ равна радиусу окружности, то есть $OD = R = 5$ см.
- Катет $HD$ равен половине хорды, то есть $HD = 4$ см.
- Катет $OH$ — это расстояние от центра окружности до хорды $CD$.

4. Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle OHD$, чтобы найти длину катета $OH$:
$OD^2 = OH^2 + HD^2$
$OH^2 = OD^2 - HD^2$
$OH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
$OH = \sqrt{9} = 3$ см.

5. Таким образом, мы нашли, что расстояние от центра окружности $O$ до хорды $CD$ составляет 3 см. По условию, точка $E$ также удалена от центра $O$ на 3 см ($OE = 3$ см) и лежит на хорде $CD$.

6. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Поскольку $OE = OH = 3$ см, это означает, что точка $E$ и точка $H$ (основание перпендикуляра) совпадают.

7. Так как точка $E$ совпадает с точкой $H$, а точка $H$ является серединой хорды $CD$, то точка $E$ также делит хорду $CD$ пополам. Следовательно, длины отрезков, на которые точка $E$ делит хорду, равны:
$CE = 4$ см и $ED = 4$ см.

Ответ: точка $E$ делит хорду на два отрезка длиной 4 см и 4 см.