Страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Радиус окружности равен $2 \text{ см}$. На продолжении радиуса взята точка $E$, отстоящая от центра $O$ окружности на расстояние $4 \text{ см}$. Через точку $E$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $B$ и $C$, $BE = 5 \text{ см}$. Найдите $CE$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности. Согласно этой теореме, для точки E, расположенной вне окружности, произведение расстояний от этой точки до двух точек пересечения любой секущей, проведенной через E, является постоянной величиной.

Эта величина, называемая степенью точки E относительно окружности, может быть вычислена с помощью секущей, проходящей через центр окружности O. Пусть эта секущая, проходящая через точки O и E, пересекает окружность в точках A и D, где A — ближайшая к E точка пересечения.

По условию, радиус окружности $R = 2$ см, а расстояние от центра до точки E равно $OE = 4$ см.

Расстояние от E до ближайшей точки пересечения A равно разности $OE$ и радиуса $R$:
$EA = OE - R = 4 - 2 = 2$ см.

Расстояние от E до дальней точки пересечения D равно сумме $OE$ и радиуса $R$:
$ED = OE + R = 4 + 2 = 6$ см.

Степень точки E относительно окружности равна произведению этих расстояний:
$P(E) = EA \cdot ED = 2 \cdot 6 = 12$.

Теперь рассмотрим секущую, которая проходит через точку E и пересекает окружность в точках B и C. По теореме о степени точки, для этой секущей также выполняется равенство:
$EC \cdot EB = P(E) = 12$.

Из условия задачи известно, что $BE = 5$ см. Подставим это значение в формулу:
$CE \cdot 5 = 12$.

Выразим из этого уравнения искомую длину $CE$:
$CE = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: $2.4$ см.

38. Радиус окружности равен 5 см. Точка $E$ удалена от центра окружности на 3 см. Через точку $E$ проведена хорда $CD$, равная 8 см. Найдите отрезки, на которые точка $E$ делит хорду $CD$.

Пусть O — центр окружности. Согласно условию задачи, радиус окружности $R = 5$ см. Через точку $E$, удаленную от центра на расстояние $OE = 3$ см, проведена хорда $CD$ длиной 8 см. Необходимо найти длины отрезков $CE$ и $ED$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Проведем из центра окружности O перпендикуляр $OH$ к хорде $CD$. Точка $H$ будет лежать на хорде $CD$.

2. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $CD$.
$CH = HD = \frac{CD}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHD$. В этом треугольнике:
- Гипотенуза $OD$ равна радиусу окружности, то есть $OD = R = 5$ см.
- Катет $HD$ равен половине хорды, то есть $HD = 4$ см.
- Катет $OH$ — это расстояние от центра окружности до хорды $CD$.

4. Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle OHD$, чтобы найти длину катета $OH$:
$OD^2 = OH^2 + HD^2$
$OH^2 = OD^2 - HD^2$
$OH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
$OH = \sqrt{9} = 3$ см.

5. Таким образом, мы нашли, что расстояние от центра окружности $O$ до хорды $CD$ составляет 3 см. По условию, точка $E$ также удалена от центра $O$ на 3 см ($OE = 3$ см) и лежит на хорде $CD$.

6. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Поскольку $OE = OH = 3$ см, это означает, что точка $E$ и точка $H$ (основание перпендикуляра) совпадают.

7. Так как точка $E$ совпадает с точкой $H$, а точка $H$ является серединой хорды $CD$, то точка $E$ также делит хорду $CD$ пополам. Следовательно, длины отрезков, на которые точка $E$ делит хорду, равны:
$CE = 4$ см и $ED = 4$ см.

Ответ: точка $E$ делит хорду на два отрезка длиной 4 см и 4 см.

39. Две окружности радиусами 2 см и 5 см касаются внутренним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности соответственно в точках B и C, $AB = 2$ см. Найдите AC.

Пусть меньшая окружность имеет радиус $r_1 = 2$ см, а большая окружность — радиус $r_2 = 5$ см. Окружности касаются внутренним образом в точке A.

Рассмотрим гомотетию (преобразование подобия) с центром в точке касания A, которая переводит меньшую окружность в большую. Коэффициент этой гомотетии $k$ равен отношению радиусов большей и меньшей окружностей:$$k = \frac{r_2}{r_1} = \frac{5}{2} = 2.5$$

Прямая, проходящая через центр гомотетии A, пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. При гомотетии с центром A точка B, лежащая на меньшей окружности, переходит в точку C, лежащую на большей окружности, причем точки A, B и C лежат на одной прямой.

По определению гомотетии, расстояние от центра гомотетии до образа точки равно произведению коэффициента гомотетии на расстояние от центра до прообраза. В нашем случае это означает, что длина отрезка AC равна длине отрезка AB, умноженной на коэффициент гомотетии $k$:$$AC = k \cdot AB$$

По условию задачи, длина отрезка $AB = 2$ см. Подставляем известные значения в формулу:$$AC = 2.5 \cdot 2 = 5 \text{ см}$$

Таким образом, длина отрезка AC составляет 5 см.

Ответ: 5 см.

40. Две окружности радиусами 2 см и 5 см касаются внешним образом в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности соответственно в точках $B$ и $C$, $AC = 5 \text{ см}$. Найдите $AB$.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1 = 2$ см и $r_2 = 5$ см соответственно. Окружности касаются внешним образом в точке А. Это означает, что точка касания А лежит на линии центров $O_1O_2$, причём А находится между $O_1$ и $O_2$. Расстояния от центров до точки касания равны радиусам: $O_1A = r_1 = 2$ см и $O_2A = r_2 = 5$ см.

Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, а вторую — в точке С. Рассмотрим треугольники $\triangle O_1AB$ и $\triangle O_2AC$.

В треугольнике $\triangle O_1AB$ стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами первой окружности, поэтому $O_1A = O_1B = r_1 = 2$ см. Следовательно, $\triangle O_1AB$ — равнобедренный, и его углы при основании AB равны: $\angle O_1BA = \angle O_1AB$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle O_2AC$ стороны $O_2A$ и $O_2C$ являются радиусами второй окружности, поэтому $O_2A = O_2C = r_2 = 5$ см. Следовательно, $\triangle O_2AC$ — также равнобедренный, и его углы при основании AC равны: $\angle O_2CA = \angle O_2AC$.

Поскольку точки B, A, C лежат на одной прямой и точки $O_1, A, O_2$ лежат на другой прямой, углы $\angle O_1AB$ и $\angle O_2AC$ являются вертикальными, а значит, они равны.

Из этого следует, что $\angle O_1BA = \angle O_1AB = \angle O_2AC = \angle O_2CA$. Так как у треугольников $\triangle O_1AB$ и $\triangle O_2AC$ есть по две пары равных углов, они подобны по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:$ \frac{AB}{AC} = \frac{O_1A}{O_2A} = \frac{r_1}{r_2} $

Подставим в это соотношение известные значения: $AC = 5$ см, $r_1 = 2$ см, $r_2 = 5$ см.$ \frac{AB}{5} = \frac{2}{5} $

Отсюда находим длину отрезка AB:$ AB = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2 $ см.

Ответ: 2 см.

1. Изобразите треугольник, вписанную и описанную окружности.

1. Чтобы изобразить треугольник с вписанной и описанной окружностями, необходимо сначала определить, что представляют собой эти окружности, и как найти их центры и радиусы.

Описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Любой треугольник имеет единственную описанную окружность.
Центр описанной окружности (O) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Положение центра зависит от типа треугольника:
- В остроугольном треугольнике центр лежит внутри.
- В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.
- В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.
Радиус описанной окружности (R) — это расстояние от её центра до любой из вершин треугольника.

Радиус описанной окружности можно найти по формулам, вытекающим из теоремы синусов или через площадь треугольника.
Через теорему синусов: $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$, где $a, b, c$ — длины сторон, а $A, B, C$ — противолежащие им углы.
Через площадь $S$: $R = \frac{abc}{4S}$.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
Центр вписанной окружности (I), или инцентр, — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Инцентр всегда находится внутри треугольника.
Радиус вписанной окружности (r) — это перпендикуляр, опущенный из центра на любую из сторон треугольника.

Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле, связывающей площадь $S$ и полупериметр $p$:
$r = \frac{S}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Изображение

На рисунке ниже представлен остроугольный треугольник ABC.
- Синим цветом показана описанная окружность с центром в точке O.
- Оранжевым цветом показана вписанная окружность с центром в точке I.

Ответ: Описанная окружность проходит через три вершины треугольника, её центр (O) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Вписанная окружность касается трёх сторон треугольника, её центр (I) является точкой пересечения биссектрис углов. Подробное объяснение и графическое изображение представлены выше.

2. Где находится центр окружности, описанной около:

а) остроугольного;

б) прямоугольного;

в) тупоугольного треугольника?

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Положение этой точки относительно самого треугольника напрямую зависит от вида его углов.

а) остроугольного
У остроугольного треугольника все три угла являются острыми (т.е. их градусная мера меньше $90^\circ$). В таком треугольнике все три серединных перпендикуляра к сторонам пересекаются в одной точке, которая расположена внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности.
Ответ: Центр описанной окружности остроугольного треугольника находится внутри треугольника.

б) прямоугольного
У прямоугольного треугольника один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. По известной теореме, вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника (сторона, лежащая напротив прямого угла) является диаметром его описанной окружности. Центр окружности — это середина диаметра.
Ответ: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы.

в) тупоугольного
У тупоугольного треугольника один из углов тупой (т.е. его градусная мера больше $90^\circ$). В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам располагается вне самого треугольника. Эта точка находится с той же стороны от самой длинной стороны треугольника (которая лежит напротив тупого угла), что и сам треугольник.
Ответ: Центр описанной окружности тупоугольного треугольника находится вне треугольника.

3. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в $90^\circ$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Пусть $AB$ и $BC$ — его боковые стороны, а $AC$ — основание. По определению равнобедренного треугольника, $AB = BC$.

По условию задачи, боковая сторона стягивает дугу в 90°. В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поскольку боковые стороны треугольника равны ($AB = BC$), то и дуги, которые они стягивают, также равны.

$$ ◡AB = ◡BC = 90° $$

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Используя эту теорему, найдем углы треугольника $ABC$.

Угол при основании $∠BCA$ (обозначим его $∠C$) опирается на дугу $◡AB$. Его величина равна:

$$ ∠C = \frac{1}{2} \cdot ◡AB = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45° $$

Другой угол при основании $∠BAC$ (обозначим его $∠A$) опирается на дугу $◡BC$. Его величина равна:

$$ ∠A = \frac{1}{2} \cdot ◡BC = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45° $$

Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет 360°. Найдем дугу $◡AC$, которую стягивает основание треугольника. Эта дуга та, на которую опирается угол при вершине $B$.

$$ ◡AC = 360° - (◡AB + ◡BC) = 360° - (90° + 90°) = 360° - 180° = 180° $$

Теперь найдем величину угла при вершине $∠ABC$ (обозначим его $∠B$), который опирается на дугу $◡AC$:

$$ ∠B = \frac{1}{2} \cdot ◡AC = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90° $$

Проверим, что сумма найденных углов треугольника равна 180°:

$$ ∠A + ∠B + ∠C = 45° + 90° + 45° = 180° $$

Все верно. Полученный треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Ответ: 45°, 45°, 90°.

4. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в $60^\circ$.

Пусть в окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, основание $AC$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Вершина $B$, противолежащая основанию, может находиться либо на большей, либо на меньшей дуге, стягиваемой хордой $AC$. Это приводит к двум возможным решениям.

Случай 1: Вершина $B$ находится на большей дуге $AC$.
В этом случае угол $\angle B$ является вписанным углом, который опирается на меньшую дугу $AC$, равную $60^\circ$. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
$ \angle B = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $
Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны:
$ \angle A = \angle C $
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Таким образом, для треугольника $ABC$ имеем:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
Подставим известные значения:
$ \angle A + 30^\circ + \angle C = 180^\circ $
Так как $ \angle A = \angle C $, то $ 2 \angle A + 30^\circ = 180^\circ $.
$ 2 \angle A = 180^\circ - 30^\circ $
$ 2 \angle A = 150^\circ $
$ \angle A = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ $
Следовательно, $ \angle A = \angle C = 75^\circ $.
Углы треугольника в этом случае: $75^\circ, 30^\circ, 75^\circ$.

Случай 2: Вершина $B$ находится на меньшей дуге $AC$.
В этом случае вписанный угол $\angle B$ опирается на большую дугу $AC$. Вся окружность составляет $360^\circ$, поэтому градусная мера большей дуги $AC$ равна:
$ 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ $
Тогда величина угла $\angle B$ равна:
$ \angle B = \frac{1}{2} \cdot 300^\circ = 150^\circ $
Треугольник по-прежнему равнобедренный с основанием $AC$, поэтому углы при основании равны: $ \angle A = \angle C $.
Используя сумму углов треугольника:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
$ \angle A + 150^\circ + \angle C = 180^\circ $
$ 2 \angle A = 180^\circ - 150^\circ $
$ 2 \angle A = 30^\circ $
$ \angle A = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ $
Следовательно, $ \angle A = \angle C = 15^\circ $.
Углы треугольника в этом случае: $15^\circ, 150^\circ, 15^\circ$.

Ответ: Углы треугольника могут быть $75^\circ, 75^\circ, 30^\circ$ или $15^\circ, 15^\circ, 150^\circ$.

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Для решения задачи нам нужно найти гипотенузу треугольника, а затем использовать формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей для прямоугольного треугольника.

Радиус описанной окружности

Сначала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Пусть катеты $a = 6$ см и $b = 8$ см, а гипотенуза - $c$.

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ см.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности ($R$) равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{c}{2}$

$R = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности ($r$) можно найти по формуле, связывающей его с катетами и гипотенузой:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставляем известные значения катетов $a = 6$ см, $b = 8$ см и найденную гипотенузу $c = 10$ см:

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

6. Для данного треугольника (см. задачу 5) постройте центр описанной окружности.

Центр описанной окружности треугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин. Геометрически эта точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Для построения центра описанной окружности для данного треугольника (обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$) необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений:

• 1. Построение серединного перпендикуляра к стороне $AB$.
  Устанавливаем на циркуле раствор (радиус), заведомо больший половины длины стороны $AB$. Из вершин $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги так, чтобы они пересеклись в двух точках по разные стороны от прямой $AB$. Соединив эти две точки пересечения прямой линией, получаем серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Обозначим его $m_1$.
• 2. Построение серединного перпендикуляра к стороне $BC$.
  Выполняем аналогичную процедуру для стороны $BC$. Устанавливаем на циркуле радиус, больший половины длины $BC$, и проводим две дуги из вершин $B$ и $C$. Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, будет серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Обозначим его $m_2$.
• 3. Определение центра описанной окружности.
  Точка пересечения построенных серединных перпендикуляров $m_1$ и $m_2$ является центром описанной окружности. Обозначим эту точку $O$.

Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_1$ к стороне $AB$, расстояние от нее до вершин $A$ и $B$ одинаково: $OA = OB$. Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_2$ к стороне $BC$, то $OB = OC$. Из этого следует, что $OA = OB = OC$, то есть точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника и, следовательно, является центром описанной около него окружности.

Примечание: Для проверки можно построить серединный перпендикуляр к третьей стороне $AC$, и он также пройдет через точку $O$. В зависимости от вида треугольника центр описанной окружности может лежать внутри треугольника (для остроугольного), на середине гипотенузы (для прямоугольного) или вне треугольника (для тупоугольного).

Ответ: Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для его нахождения нужно построить серединные перпендикуляры как минимум к двум сторонам треугольника. Точка, в которой они пересекутся, и будет искомым центром.

7. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как $3 : 4 : 5$. Найдите углы треугольника ABC.

Пусть точки А, В и С делят окружность на три дуги, которые мы обозначим как ◡AB, ◡BC и ◡CA. Согласно условию, градусные меры этих дуг соотносятся как $3:4:5$.

Сумма градусных мер всех дуг, составляющих полную окружность, равна $360^\circ$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны:
◡AB = $3x$
◡BC = $4x$
◡CA = $5x$

Составим и решим уравнение, исходя из того, что сумма градусных мер дуг равна $360^\circ$:
$3x + 4x + 5x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{12}$
$x = 30^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждой дуги:
Градусная мера дуги ◡AB = $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.
Градусная мера дуги ◡BC = $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Градусная мера дуги ◡CA = $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
Проверка: $90^\circ + 120^\circ + 150^\circ = 360^\circ$.

Углы треугольника ABC являются вписанными в окружность. По теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Находим $\angle A$ (или $\angle BAC$):
Этот угол опирается на дугу ◡BC.
$\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{◡BC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Находим $\angle B$ (или $\angle ABC$):
Этот угол опирается на дугу ◡CA.
$\angle B = \frac{1}{2} \cdot \text{◡CA} = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.

Находим $\angle C$ (или $\angle BCA$):
Этот угол опирается на дугу ◡AB.
$\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{◡AB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы треугольника ABC. Проверим, что их сумма равна $180^\circ$:
$60^\circ + 75^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.
Расчеты верны.

Ответ: углы треугольника АВС равны $45^\circ$, $60^\circ$ и $75^\circ$.

8. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 6. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол $C$ равен: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$; д) $150^\circ$.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы синусов для треугольника. Согласно этому следствию, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности. Формула выглядит так:

$ \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $ c $ — длина стороны (в нашем случае $ AB $), $ C $ — величина угла, противолежащего этой стороне, а $ R $ — радиус описанной окружности.

Из условия мы знаем, что сторона $ AB = 6 $. Выразим радиус $ R $ из формулы:

$ R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{6}{2 \sin C} = \frac{3}{\sin C} $

Теперь мы можем вычислить радиус для каждого из предложенных значений угла $ C $.

а) Угол $ C = 30^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6 $.
Ответ: 6.

б) Угол $ C = 45^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 45^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $.
Ответ: $ 3\sqrt{2} $.

в) Угол $ C = 60^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $.
Ответ: $ 2\sqrt{3} $.

г) Угол $ C = 90^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 90^\circ = 1 $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 90^\circ} = \frac{3}{1} = 3 $.
Примечание: Если угол $ C = 90^\circ $, то треугольник $ ABC $ — прямоугольный, а сторона $ AB $ — его гипотенуза. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы. Таким образом, $ R = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.
Ответ: 3.

д) Угол $ C = 150^\circ $.
Значение синуса (используя формулу приведения): $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 150^\circ} = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6 $.
Ответ: 6.

9. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите сторону $AB$ этого треугольника, если противолежащий ей угол $C$ равен:
а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$; д) $150^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое связывает сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности. Формула имеет вид:

$ \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $c$ - сторона треугольника (в нашем случае $AB$), $C$ - противолежащий ей угол, а $R$ - радиус описанной окружности.

Отсюда мы можем выразить длину стороны $AB$:

$ AB = 2R \sin C $

Нам дано, что радиус описанной окружности $ R = 6 $ см. Подставим это значение в формулу:

$ AB = 2 \times 6 \times \sin C = 12 \sin C $

Теперь найдем длину стороны $AB$ для каждого из заданных углов $C$.

а) Если угол $C = 30^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ см. Ответ: 6 см.

б) Если угол $C = 45^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(45^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см. Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

в) Если угол $C = 60^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(60^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

г) Если угол $C = 90^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(90^\circ) = 12 \times 1 = 12$ см. В этом случае сторона $AB$ является диаметром описанной окружности. Ответ: 12 см.

д) Если угол $C = 150^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(150^\circ) = 12 \times \sin(180^\circ - 30^\circ) = 12 \times \sin(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ см. Ответ: 6 см.

10. В треугольнике ABC $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$. Какая из сторон треугольника расположена ближе к центру описанной окружности?

Для того чтобы определить, какая из сторон треугольника расположена ближе к центру описанной окружности, необходимо сравнить расстояния от центра окружности до каждой из сторон.

Сначала найдем величину третьего угла треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $40^\circ, 60^\circ$ и $80^\circ$. Все углы острые, значит центр описанной окружности находится внутри треугольника. Для решения задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Через сравнение длин сторон.
Стороны треугольника являются хордами его описанной окружности. В одной и той же окружности, чем длиннее хорда, тем меньше расстояние от нее до центра. В свою очередь, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы треугольника $ABC$:
$\angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 80^\circ$.
Так как $\angle A < \angle B < \angle C$, то и для длин противолежащих им сторон $BC, AC, AB$ выполняется соотношение $BC < AC < AB$.
Самая длинная сторона — $AB$. Следовательно, как самая длинная хорда, она расположена ближе всего к центру описанной окружности.

Способ 2: Через формулу расстояния.
Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Расстояние $d$ от центра до стороны, которой противолежит угол $\alpha$, вычисляется по формуле $d = R \cos(\alpha)$ (поскольку все углы острые, модуль не требуется). Чтобы найти ближайшую к центру сторону, нужно найти наименьшее расстояние.
- Расстояние до стороны $BC$ (противолежащей $\angle A$): $d_{BC} = R \cos(40^\circ)$.
- Расстояние до стороны $AC$ (противолежащей $\angle B$): $d_{AC} = R \cos(60^\circ)$.
- Расстояние до стороны $AB$ (противолежащей $\angle C$): $d_{AB} = R \cos(80^\circ)$.
Функция косинуса является убывающей на интервале $[0^\circ, 90^\circ]$. Так как $40^\circ < 60^\circ < 80^\circ$, то для их косинусов выполняется обратное неравенство: $\cos(40^\circ) > \cos(60^\circ) > \cos(80^\circ)$.
Следовательно, для расстояний имеем: $d_{BC} > d_{AC} > d_{AB}$.
Наименьшее расстояние $d_{AB}$ соответствует стороне $AB$, что подтверждает вывод, полученный первым способом.

Ответ: сторона AB расположена ближе к центру описанной окружности.