Номер 9, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите сторону $AB$ этого треугольника, если противолежащий ей угол $C$ равен:
а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$; д) $150^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое связывает сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности. Формула имеет вид:

$ \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $c$ - сторона треугольника (в нашем случае $AB$), $C$ - противолежащий ей угол, а $R$ - радиус описанной окружности.

Отсюда мы можем выразить длину стороны $AB$:

$ AB = 2R \sin C $

Нам дано, что радиус описанной окружности $ R = 6 $ см. Подставим это значение в формулу:

$ AB = 2 \times 6 \times \sin C = 12 \sin C $

Теперь найдем длину стороны $AB$ для каждого из заданных углов $C$.

а) Если угол $C = 30^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ см. Ответ: 6 см.

б) Если угол $C = 45^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(45^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см. Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

в) Если угол $C = 60^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(60^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

г) Если угол $C = 90^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(90^\circ) = 12 \times 1 = 12$ см. В этом случае сторона $AB$ является диаметром описанной окружности. Ответ: 12 см.

д) Если угол $C = 150^\circ$, то длина стороны $AB$ равна $12 \times \sin(150^\circ) = 12 \times \sin(180^\circ - 30^\circ) = 12 \times \sin(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ см. Ответ: 6 см.