Номер 14, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны:

а) $90^\circ$, $80^\circ$, $70^\circ$, $120^\circ$;

б) $50^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$, $80^\circ$?

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180°$. Это свойство вписанного четырехугольника. Проверим, выполняется ли это условие для заданных в задаче четырехугольников.

а) Даны последовательные углы четырехугольника: $90°, 80°, 70°, 120°$.

Противолежащие углы в данном случае — это первый и третий ($90°$ и $70°$), а также второй и четвертый ($80°$ и $120°$).

Найдем сумму первой пары противолежащих углов:

$90° + 70° = 160°$

Поскольку сумма $160°$ не равна $180°$, условие для описанной окружности не выполняется. Для уверенности проверим и вторую пару углов.

Сумма второй пары противолежащих углов:

$80° + 120° = 200°$

Эта сумма также не равна $180°$. Следовательно, описать окружность около этого четырехугольника нельзя.

Ответ: нельзя.

б) Даны последовательные углы четырехугольника: $50°, 110°, 120°, 80°$.

Противолежащими углами являются $50°$ и $120°$, а также $110°$ и $80°$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов:

$50° + 120° = 170°$

Так как $170° \neq 180°$, условие не выполняется. Проверим вторую пару.

Сумма второй пары противолежащих углов:

$110° + 80° = 190°$

Эта сумма также не равна $180°$. Таким образом, описать окружность около данного четырехугольника невозможно.

Ответ: нельзя.