Номер 11, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В треугольнике $ABC$ $AB = 4$, $AC = 5$, $BC = 6$. Какая из вершин треугольника расположена ближе к центру вписанной окружности?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Чтобы определить, какая из вершин расположена ближе к центру $I$, необходимо сравнить длины отрезков $IA$, $IB$ и $IC$.

Существует два основных способа решения этой задачи.

Способ 1: Через углы треугольника.

Расстояние от вершины до центра вписанной окружности можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и угол при этой вершине. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной $A$, центром $I$ и точкой касания вписанной окружности со стороной $AB$ (назовем ее $F$). В этом треугольнике $AIF$ катет $IF$ равен радиусу $r$, а угол $IAF$ равен половине угла $A$, так как $AI$ — биссектриса.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AIF$ имеем:
$\sin\left(\frac{\angle A}{2}\right) = \frac{IF}{IA} = \frac{r}{IA}$, откуда $IA = \frac{r}{\sin(\angle A/2)}$.
Аналогично для двух других вершин:
$IB = \frac{r}{\sin(\angle B/2)}$
$IC = \frac{r}{\sin(\angle C/2)}$

Чтобы найти наименьшее из расстояний $IA, IB, IC$, нужно найти вершину с наибольшим углом. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сравним длины сторон треугольника $ABC$:
$a = BC = 6$
$b = AC = 5$
$c = AB = 4$

Так как $a > b > c$, то и противолежащие им углы находятся в том же соотношении: $\angle A > \angle B > \angle C$.

Поскольку углы треугольника лежат в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, их половины лежат в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. В этом интервале функция синуса возрастает. Следовательно, из $\angle A > \angle B > \angle C$ следует, что $\sin(\angle A/2) > \sin(\angle B/2) > \sin(\angle C/2)$.

Так как расстояние до центра вписанной окружности обратно пропорционально синусу половины угла при вершине, наименьшему расстоянию будет соответствовать наибольшее значение синуса. Наибольшее значение у $\sin(\angle A/2)$, значит, расстояние $IA$ является наименьшим.

Способ 2: Через отрезки касательных.

Как было показано в первом способе, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $AIF$. По теореме Пифагора $IA^2 = IF^2 + AF^2 = r^2 + AF^2$.
Аналогично, $IB^2 = r^2 + BD^2$ и $IC^2 = r^2 + CE^2$, где $D$ и $E$ — точки касания на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно.

Чтобы сравнить $IA, IB, IC$, достаточно сравнить длины отрезков касательных $AF, BD, CE$. Длины этих отрезков вычисляются через полупериметр $p$ и стороны треугольника.

Найдем полупериметр:
$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.

Теперь вычислим длины отрезков от вершин до точек касания:
$AF = p - BC = p - a = 7.5 - 6 = 1.5$
$BD = p - AC = p - b = 7.5 - 5 = 2.5$
$CE = p - AB = p - c = 7.5 - 4 = 3.5$

Сравнивая длины этих отрезков, получаем: $AF < BD < CE$.
Следовательно, $AF^2 < BD^2 < CE^2$.
А значит, и $r^2+AF^2 < r^2+BD^2 < r^2+CE^2$, откуда $IA^2 < IB^2 < IC^2$.
Таким образом, $IA$ является наименьшим расстоянием.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: вершина $A$, противолежащая наибольшей стороне $BC$, расположена ближе всего к центру вписанной окружности.

Ответ: Вершина $A$.