Номер 18, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Можно ли вписать окружность в:
а) квадрат;
б) прямоугольник, отличный от квадрата;
в) ромб;
г) параллелограмм, отличный от ромба?

а) квадрат
Согласно свойству описанного четырехугольника, окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. То есть, для четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ должно выполняться равенство $a + c = b + d$.
Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть длина стороны квадрата равна $s$. Тогда все его стороны равны $s$.
Проверим выполнение условия для квадрата: сумма одной пары противоположных сторон равна $s + s = 2s$, сумма другой пары — $s + s = 2s$.
Поскольку $2s = 2s$, условие выполняется. Следовательно, в любой квадрат можно вписать окружность. Ее центр совпадает с центром квадрата (точкой пересечения диагоналей), а радиус равен половине стороны квадрата.
Ответ: да, можно.

б) прямоугольник, отличный от квадрата
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, а все углы прямые. Пусть длины смежных сторон прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, прямоугольник не является квадратом, поэтому $a \neq b$.
Проверим условие равенства сумм противоположных сторон: $a + a = b + b$, что равносильно $2a = 2b$, и, следовательно, $a = b$.
Это равенство справедливо только для квадрата. Поскольку для нашего прямоугольника $a \neq b$, условие не выполняется.
Таким образом, в прямоугольник, отличный от квадрата, вписать окружность нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

в) ромб
Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Пусть длина стороны ромба равна $s$.
Воспользуемся тем же свойством описанного четырехугольника: $a + c = b + d$.
Для ромба все стороны равны $s$, поэтому проверка условия дает: $s + s = s + s$, или $2s = 2s$.
Равенство всегда истинно. Это означает, что в любой ромб можно вписать окружность. Ее центр лежит в точке пересечения диагоналей ромба.
Ответ: да, можно.

г) параллелограмм, отличный от ромба
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны. Пусть длины смежных сторон равны $a$ и $b$. По условию, параллелограмм не является ромбом, а значит, его смежные стороны не равны: $a \neq b$.
Проверим условие вписанной окружности: суммы противоположных сторон должны быть равны. Сумма одной пары сторон равна $a + a = 2a$, а другой — $b + b = 2b$.
Для возможности вписать окружность требуется, чтобы $2a = 2b$, что означает $a = b$.
Это условие выполняется только для ромба. Так как наш параллелограмм не ромб, то $a \neq b$, и окружность в него вписать нельзя.
Ответ: нет, нельзя.