Номер 6, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Для данного треугольника (см. задачу 5) постройте центр описанной окружности.

Центр описанной окружности треугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин. Геометрически эта точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Для построения центра описанной окружности для данного треугольника (обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$) необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений:

• 1. Построение серединного перпендикуляра к стороне $AB$.
  Устанавливаем на циркуле раствор (радиус), заведомо больший половины длины стороны $AB$. Из вершин $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги так, чтобы они пересеклись в двух точках по разные стороны от прямой $AB$. Соединив эти две точки пересечения прямой линией, получаем серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Обозначим его $m_1$.
• 2. Построение серединного перпендикуляра к стороне $BC$.
  Выполняем аналогичную процедуру для стороны $BC$. Устанавливаем на циркуле радиус, больший половины длины $BC$, и проводим две дуги из вершин $B$ и $C$. Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, будет серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Обозначим его $m_2$.
• 3. Определение центра описанной окружности.
  Точка пересечения построенных серединных перпендикуляров $m_1$ и $m_2$ является центром описанной окружности. Обозначим эту точку $O$.

Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_1$ к стороне $AB$, расстояние от нее до вершин $A$ и $B$ одинаково: $OA = OB$. Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_2$ к стороне $BC$, то $OB = OC$. Из этого следует, что $OA = OB = OC$, то есть точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника и, следовательно, является центром описанной около него окружности.

Примечание: Для проверки можно построить серединный перпендикуляр к третьей стороне $AC$, и он также пройдет через точку $O$. В зависимости от вида треугольника центр описанной окружности может лежать внутри треугольника (для остроугольного), на середине гипотенузы (для прямоугольного) или вне треугольника (для тупоугольного).

Ответ: Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для его нахождения нужно построить серединные перпендикуляры как минимум к двум сторонам треугольника. Точка, в которой они пересекутся, и будет искомым центром.