Номер 2, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Где находится центр окружности, описанной около:

а) остроугольного;

б) прямоугольного;

в) тупоугольного треугольника?

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Положение этой точки относительно самого треугольника напрямую зависит от вида его углов.

а) остроугольного
У остроугольного треугольника все три угла являются острыми (т.е. их градусная мера меньше $90^\circ$). В таком треугольнике все три серединных перпендикуляра к сторонам пересекаются в одной точке, которая расположена внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности.
Ответ: Центр описанной окружности остроугольного треугольника находится внутри треугольника.

б) прямоугольного
У прямоугольного треугольника один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. По известной теореме, вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника (сторона, лежащая напротив прямого угла) является диаметром его описанной окружности. Центр окружности — это середина диаметра.
Ответ: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы.

в) тупоугольного
У тупоугольного треугольника один из углов тупой (т.е. его градусная мера больше $90^\circ$). В этом случае точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам располагается вне самого треугольника. Эта точка находится с той же стороны от самой длинной стороны треугольника (которая лежит напротив тупого угла), что и сам треугольник.
Ответ: Центр описанной окружности тупоугольного треугольника находится вне треугольника.