Номер 37, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Радиус окружности равен $2 \text{ см}$. На продолжении радиуса взята точка $E$, отстоящая от центра $O$ окружности на расстояние $4 \text{ см}$. Через точку $E$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $B$ и $C$, $BE = 5 \text{ см}$. Найдите $CE$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности. Согласно этой теореме, для точки E, расположенной вне окружности, произведение расстояний от этой точки до двух точек пересечения любой секущей, проведенной через E, является постоянной величиной.

Эта величина, называемая степенью точки E относительно окружности, может быть вычислена с помощью секущей, проходящей через центр окружности O. Пусть эта секущая, проходящая через точки O и E, пересекает окружность в точках A и D, где A — ближайшая к E точка пересечения.

По условию, радиус окружности $R = 2$ см, а расстояние от центра до точки E равно $OE = 4$ см.

Расстояние от E до ближайшей точки пересечения A равно разности $OE$ и радиуса $R$:
$EA = OE - R = 4 - 2 = 2$ см.

Расстояние от E до дальней точки пересечения D равно сумме $OE$ и радиуса $R$:
$ED = OE + R = 4 + 2 = 6$ см.

Степень точки E относительно окружности равна произведению этих расстояний:
$P(E) = EA \cdot ED = 2 \cdot 6 = 12$.

Теперь рассмотрим секущую, которая проходит через точку E и пересекает окружность в точках B и C. По теореме о степени точки, для этой секущей также выполняется равенство:
$EC \cdot EB = P(E) = 12$.

Из условия задачи известно, что $BE = 5$ см. Подставим это значение в формулу:
$CE \cdot 5 = 12$.

Выразим из этого уравнения искомую длину $CE$:
$CE = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: $2.4$ см.