Номер 1, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите треугольник, вписанную и описанную окружности.

1. Чтобы изобразить треугольник с вписанной и описанной окружностями, необходимо сначала определить, что представляют собой эти окружности, и как найти их центры и радиусы.

Описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Любой треугольник имеет единственную описанную окружность.
Центр описанной окружности (O) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Положение центра зависит от типа треугольника:
- В остроугольном треугольнике центр лежит внутри.
- В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.
- В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.
Радиус описанной окружности (R) — это расстояние от её центра до любой из вершин треугольника.

Радиус описанной окружности можно найти по формулам, вытекающим из теоремы синусов или через площадь треугольника.
Через теорему синусов: $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$, где $a, b, c$ — длины сторон, а $A, B, C$ — противолежащие им углы.
Через площадь $S$: $R = \frac{abc}{4S}$.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.
Центр вписанной окружности (I), или инцентр, — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Инцентр всегда находится внутри треугольника.
Радиус вписанной окружности (r) — это перпендикуляр, опущенный из центра на любую из сторон треугольника.

Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле, связывающей площадь $S$ и полупериметр $p$:
$r = \frac{S}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Изображение

На рисунке ниже представлен остроугольный треугольник ABC.
- Синим цветом показана описанная окружность с центром в точке O.
- Оранжевым цветом показана вписанная окружность с центром в точке I.

Ответ: Описанная окружность проходит через три вершины треугольника, её центр (O) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Вписанная окружность касается трёх сторон треугольника, её центр (I) является точкой пересечения биссектрис углов. Подробное объяснение и графическое изображение представлены выше.