Номер 3, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в $90^\circ$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Пусть $AB$ и $BC$ — его боковые стороны, а $AC$ — основание. По определению равнобедренного треугольника, $AB = BC$.

По условию задачи, боковая сторона стягивает дугу в 90°. В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поскольку боковые стороны треугольника равны ($AB = BC$), то и дуги, которые они стягивают, также равны.

$$ ◡AB = ◡BC = 90° $$

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Используя эту теорему, найдем углы треугольника $ABC$.

Угол при основании $∠BCA$ (обозначим его $∠C$) опирается на дугу $◡AB$. Его величина равна:

$$ ∠C = \frac{1}{2} \cdot ◡AB = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45° $$

Другой угол при основании $∠BAC$ (обозначим его $∠A$) опирается на дугу $◡BC$. Его величина равна:

$$ ∠A = \frac{1}{2} \cdot ◡BC = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45° $$

Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет 360°. Найдем дугу $◡AC$, которую стягивает основание треугольника. Эта дуга та, на которую опирается угол при вершине $B$.

$$ ◡AC = 360° - (◡AB + ◡BC) = 360° - (90° + 90°) = 360° - 180° = 180° $$

Теперь найдем величину угла при вершине $∠ABC$ (обозначим его $∠B$), который опирается на дугу $◡AC$:

$$ ∠B = \frac{1}{2} \cdot ◡AC = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90° $$

Проверим, что сумма найденных углов треугольника равна 180°:

$$ ∠A + ∠B + ∠C = 45° + 90° + 45° = 180° $$

Все верно. Полученный треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Ответ: 45°, 45°, 90°.