Номер 36, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Радиус окружности равен $3$ см. На продолжении радиуса взята точка $E$, отстоящая от центра $O$ окружности на расстояние $5$ см. Через точку $E$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $B$ и $C$. Найдите произведение отрезков $BE$ и $CE$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности (или теоремой о произведении отрезков секущих). Согласно этой теореме, для точки, лежащей вне окружности, произведение расстояний от этой точки до точек пересечения с окружностью по любой секущей есть величина постоянная.

Пусть E — точка вне окружности, а луч, проведенный через E, пересекает окружность в точках B и C. Мы ищем произведение $BE \cdot CE$.

Эта постоянная величина, называемая степенью точки E относительно окружности, может быть вычислена с использованием любой удобной секущей. Самый простой случай — секущая, проходящая через центр окружности O.

Пусть секущая, проходящая через E и O, пересекает окружность в точках A (ближайшая к E) и D (дальняя от E).

По теореме о секущих, справедливо равенство:

$BE \cdot CE = AE \cdot DE$

Нам даны:

Радиус окружности $R = 3$ см.

Расстояние от центра O до точки E: $OE = 5$ см.

Теперь найдем длины отрезков AE и DE:

Длина отрезка AE (расстояние от E до ближайшей точки на окружности вдоль линии OE) равна:

$AE = OE - R = 5 - 3 = 2$ см.

Длина отрезка DE (расстояние от E до дальней точки на окружности вдоль линии OE) равна:

$DE = OE + R = 5 + 3 = 8$ см.

Теперь мы можем найти искомое произведение:

$BE \cdot CE = AE \cdot DE = 2 \cdot 8 = 16$.

Также, степень точки E можно было вычислить по формуле $OE^2 - R^2$:

$BE \cdot CE = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.

Ответ: 16.