Номер 30, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Дуги AB и DE окружности составляют соответственно $85^\circ$ и $45^\circ$. Найдите угол ACB, образованный хордами AD и BE, пересекающимися в точке C.

Для нахождения угла, образованного двумя пересекающимися внутри окружности хордами, используется соответствующая теорема. Теорема гласит, что величина такого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые заключены между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В нашей задаче хорды $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $C$. Мы ищем угол $\angle ACB$. Угол, вертикальный к нему, это $\angle DCE$. Угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, а угол $\angle DCE$ — на дугу $DE$.

Таким образом, формула для вычисления угла $\angle ACB$ следующая: $\angle ACB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{DE})$

Из условия задачи известны градусные меры этих дуг: $\overset{\frown}{AB} = 85^\circ$ $\overset{\frown}{DE} = 45^\circ$

Подставим данные значения в формулу: $\angle ACB = \frac{1}{2} (85^\circ + 45^\circ)$

Выполним вычисления: $\angle ACB = \frac{1}{2} (130^\circ)$ $\angle ACB = 65^\circ$

Для полноты решения приведем доказательство используемой теоремы. Соединим точки $A$ и $E$. Рассмотрим треугольник $\triangle AEC$. Угол $\angle ACB$ является внешним для этого треугольника при вершине $C$. По свойству внешнего угла, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним: $\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$

Угол $\angle CAE$ (тот же, что и $\angle DAE$) является вписанным углом, который опирается на дугу $DE$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается: $\angle CAE = \frac{1}{2} \overset{\frown}{DE}$

Аналогично, угол $\angle AEC$ (тот же, что и $\angle AEB$) — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$: $\angle AEC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB}$

Подставив эти выражения в формулу для внешнего угла, получим: $\angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{DE} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{DE})$ Это доказывает справедливость формулы, использованной для решения.

Ответ: $65^\circ$