Номер 24, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Укажите геометрическое место вершин $B$ прямоугольных треугольников $ABC$ с данной гипотенузой $AC$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. В данном случае условие таково: точка $B$ является вершиной прямоугольного треугольника $ABC$, где $AC$ — заданная гипотенуза, а угол $B$ — прямой ($\angle ABC = 90^\circ$).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством окружности и вписанных в нее углов.

1. Прямое утверждение: Если треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AC$, то его вершина $B$ лежит на окружности, диаметром которой является $AC$.

Доказательство: Пусть $O$ — середина гипотенузы $AC$. Проведем медиану $BO$ из вершины прямого угла $B$. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. То есть, $BO = \frac{1}{2}AC$. Так как $O$ — середина $AC$, то $AO = CO = \frac{1}{2}AC$. Следовательно, мы имеем $BO = AO = CO = R$. Это означает, что точка $B$ находится на том же расстоянии от точки $O$, что и точки $A$ и $C$. По определению, множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии $R$ от заданной точки $O$, есть окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Таким образом, вершина $B$ лежит на окружности с центром в середине гипотенузы $AC$ и диаметром, равным $AC$.

2. Обратное утверждение: Любая точка $B$, лежащая на окружности с диаметром $AC$ (за исключением точек $A$ и $C$), образует с точками $A$ и $C$ прямоугольный треугольник $ABC$.

Доказательство: Пусть у нас есть окружность с диаметром $AC$. Возьмем на этой окружности любую точку $B$, не совпадающую с $A$ или $C$. Угол $\angle ABC$ является вписанным в эту окружность и опирается на диаметр $AC$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$, а треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Если точка $B$ совпадет с точкой $A$ или $C$, то три точки будут лежать на одной прямой, и треугольник выродится в отрезок. Поэтому точки $A$ и $C$ необходимо исключить из искомого геометрического места точек.

Следовательно, искомое геометрическое место вершин $B$ — это окружность, построенная на отрезке $AC$ как на диаметре, за вычетом точек $A$ и $C$.

Ответ: Окружность с диаметром $AC$, из которой исключены точки $A$ и $C$.