Страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности?

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны являются хордами этой окружности. Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

Если вписанный угол опирается на диаметр, то дуга, на которую он опирается, является полуокружностью.

Угловая мера всей окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, угловая мера полуокружности равна половине от $360^\circ$:

$ \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $

Так как величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается, то искомый угол будет равен:

$ \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

Таким образом, любой вписанный угол, который опирается на диаметр окружности, является прямым углом. Это следствие из теоремы о вписанном угле, также известное как теорема Фалеса.

Ответ: $90^\circ$.

22. Центральный угол на $25^\circ$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите каждый из этих углов.

Пусть величина вписанного угла равна $x$.

Согласно свойству углов в окружности, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. Следовательно, величина центрального угла равна $2x$.

По условию задачи, центральный угол на $25^\circ$ больше вписанного. На основе этих данных можно составить уравнение:

$2x = x + 25^\circ$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2x - x = 25^\circ$

$x = 25^\circ$

Таким образом, величина вписанного угла составляет $25^\circ$.

Теперь найдем величину центрального угла:

Центральный угол = $2x = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$.

Проверим полученный результат: разница между центральным и вписанным углами равна $50^\circ - 25^\circ = 25^\circ$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: вписанный угол равен $25^\circ$, центральный угол равен $50^\circ$.

23. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет:

а) $\frac{1}{5}$ окружности;

б) $15\%$ окружности.

Для решения этой задачи необходимо знать, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$.

а) Найдем градусную меру дуги, которая составляет $\frac{1}{5}$ окружности.
Для этого умножим эту долю на $360^\circ$:
Градусная мера дуги = $\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$.
Теперь найдем вписанный угол, который равен половине этой дуги:
Вписанный угол = $\frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

б) Найдем градусную меру дуги, которая составляет $15\%$ окружности.
Сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $15\% = 0.15$.
Теперь найдем градусную меру дуги, умножив эту долю на $360^\circ$:
Градусная мера дуги = $0.15 \cdot 360^\circ = 54^\circ$.
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен ее половине:
Вписанный угол = $\frac{1}{2} \cdot 54^\circ = 27^\circ$.
Ответ: $27^\circ$.

24. Укажите геометрическое место вершин $B$ прямоугольных треугольников $ABC$ с данной гипотенузой $AC$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. В данном случае условие таково: точка $B$ является вершиной прямоугольного треугольника $ABC$, где $AC$ — заданная гипотенуза, а угол $B$ — прямой ($\angle ABC = 90^\circ$).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством окружности и вписанных в нее углов.

1. Прямое утверждение: Если треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AC$, то его вершина $B$ лежит на окружности, диаметром которой является $AC$.

Доказательство: Пусть $O$ — середина гипотенузы $AC$. Проведем медиану $BO$ из вершины прямого угла $B$. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. То есть, $BO = \frac{1}{2}AC$. Так как $O$ — середина $AC$, то $AO = CO = \frac{1}{2}AC$. Следовательно, мы имеем $BO = AO = CO = R$. Это означает, что точка $B$ находится на том же расстоянии от точки $O$, что и точки $A$ и $C$. По определению, множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии $R$ от заданной точки $O$, есть окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Таким образом, вершина $B$ лежит на окружности с центром в середине гипотенузы $AC$ и диаметром, равным $AC$.

2. Обратное утверждение: Любая точка $B$, лежащая на окружности с диаметром $AC$ (за исключением точек $A$ и $C$), образует с точками $A$ и $C$ прямоугольный треугольник $ABC$.

Доказательство: Пусть у нас есть окружность с диаметром $AC$. Возьмем на этой окружности любую точку $B$, не совпадающую с $A$ или $C$. Угол $\angle ABC$ является вписанным в эту окружность и опирается на диаметр $AC$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$, а треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Если точка $B$ совпадет с точкой $A$ или $C$, то три точки будут лежать на одной прямой, и треугольник выродится в отрезок. Поэтому точки $A$ и $C$ необходимо исключить из искомого геометрического места точек.

Следовательно, искомое геометрическое место вершин $B$ — это окружность, построенная на отрезке $AC$ как на диаметре, за вычетом точек $A$ и $C$.

Ответ: Окружность с диаметром $AC$, из которой исключены точки $A$ и $C$.

25. Для данных точек $A$ и $B$ укажите геометрическое место точек $C$, для которых угол $ACB$:

а) острый;

б) тупой.

Для определения искомого геометрического места точек (ГМТ) воспользуемся свойством вписанных углов. Геометрическим местом точек C, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом ($\angle ACB = 90^\circ$), является окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре (за исключением самих точек A и B).

Эта окружность разделяет всю плоскость на три области:

• точки на самой окружности (угол прямой);
• точки внутри круга, ограниченного этой окружностью (угол тупой);
• точки вне этого круга (угол острый).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) острый

Угол $\angle ACB$ является острым, то есть $\angle ACB < 90^\circ$. Это условие выполняется для всех точек C, которые лежат вне окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Кроме того, точка C не должна лежать на прямой AB, так как в этом случае точки A, B и C будут коллинеарны, и угол $\angle ACB$ будет равен $0^\circ$ или $180^\circ$, что не является острым углом в контексте треугольника.

Таким образом, искомое ГМТ — это вся плоскость, из которой удалён замкнутый круг (окружность и ее внутренняя часть) с диаметром AB, а также удалены все остальные точки прямой AB.

Ответ: Геометрическое место точек C, для которых угол $\angle ACB$ острый, — это множество всех точек плоскости, лежащих вне круга с диаметром AB, за исключением точек прямой AB, не принадлежащих отрезку AB.

б) тупой

Угол $\angle ACB$ является тупым, то есть $\angle ACB > 90^\circ$. Это условие выполняется для всех точек C, которые лежат внутри окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Однако, если точка C лежит на самом отрезке AB, треугольник ABC вырождается в отрезок, и угол не определен. Поэтому точки отрезка AB необходимо исключить.

Таким образом, искомое ГМТ — это внутренняя область круга (открытый круг), построенного на отрезке AB как на диаметре, за исключением точек самого отрезка AB.

Ответ: Геометрическое место точек C, для которых угол $\angle ACB$ тупой, — это внутренняя область круга с диаметром AB (круг без своей граничной окружности), из которой исключены точки отрезка AB.

26. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $5:7$. Под какими углами видна эта хорда из точек окружности?

Полная окружность составляет $360^\circ$. Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $5:7$.

Пусть $x$ — одна часть пропорции. Тогда градусная мера меньшей дуги равна $5x$, а большей — $7x$. Сумма градусных мер этих дуг равна градусной мере всей окружности, поэтому мы можем составить уравнение:

$5x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

Градусная мера меньшей дуги: $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Градусная мера большей дуги: $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$.

Угол, под которым видна хорда из точки на окружности, — это вписанный угол. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

В зависимости от того, на какой из двух дуг находится точка наблюдения, возможны два варианта:

1. Если точка находится на большей дуге, то вписанный угол опирается на меньшую дугу. Его величина равна:

$\alpha_1 = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$

2. Если точка находится на меньшей дуге, то вписанный угол опирается на большую дугу. Его величина равна:

$\alpha_2 = \frac{1}{2} \cdot 210^\circ = 105^\circ$

Таким образом, хорда видна из разных точек окружности под двумя возможными углами.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

27. Через концы дуги в $50^\circ$ проведены касательные. Найдите угол между ними.

Пусть окружность имеет центр в точке $O$. Обозначим концы дуги как точки $A$ и $B$. По условию, градусная мера дуги $AB$ равна $50^\circ$. Через точки $A$ и $B$ проведены касательные к окружности, которые пересекаются в некоторой точке $C$. Требуется найти угол между этими касательными, то есть $\angle ACB$.

Для нахождения угла $\angle ACB$ рассмотрим четырехугольник $OACB$, образованный точками касания $A$ и $B$, центром окружности $O$ и точкой пересечения касательных $C$.

1. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, $\angle AOB = 50^\circ$.

2. По свойству касательных, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$, а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BC$. Это означает, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми:$\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

3. Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ запишем равенство:$\angle ACB + \angle OAC + \angle AOB + \angle OBC = 360^\circ$

Подставим известные значения углов в это уравнение:$\angle ACB + 90^\circ + 50^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $\angle ACB$:$\angle ACB + 230^\circ = 360^\circ$$\angle ACB = 360^\circ - 230^\circ$$\angle ACB = 130^\circ$

Ответ: $130^\circ$.

28. Хорда AB стягивает дугу окружности в $44^{\circ}$. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы.

Для решения данной задачи применяется теорема об угле между касательной и хордой. Согласно этой теореме, угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, которую стягивает эта хорда.

Пусть $AB$ — данная хорда, а $\smallsmile AB$ — дуга, которую она стягивает. По условию, угловая величина этой дуги составляет $44^\circ$.

$m(\smallsmile AB) = 44^\circ$

Рассмотрим угол, который образует хорда $AB$ с касательной, проведенной через точку $A$. Обозначим этот угол как $\angle \alpha$. По теореме об угле между касательной и хордой, величина этого угла равна половине дуги $\smallsmile AB$.

$\angle \alpha = \frac{1}{2} \cdot m(\smallsmile AB)$

Подставим данное значение:

$\angle \alpha = \frac{1}{2} \cdot 44^\circ = 22^\circ$

Аналогично, угол, который образует хорда $AB$ с касательной, проведенной через точку $B$, также равен половине дуги $\smallsmile AB$. Обозначим его $\angle \beta$.

$\angle \beta = \frac{1}{2} \cdot m(\smallsmile AB) = \frac{1}{2} \cdot 44^\circ = 22^\circ$

Таким образом, хорда образует с каждой из касательных, проведенных через ее концы, углы по $22^\circ$.

Ответ: Хорда образует с каждой из касательных, проведенных через ее концы, угол в $22^\circ$.

29. В угол $ACB$ вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Найдите величину угла $ACB$.

Пусть окружность с центром в точке $O$ вписана в угол $ACB$. Обозначим точки касания окружности со сторонами угла $AC$ и $BC$ как $M$ и $N$ соответственно. Эти точки делят окружность на две дуги: меньшую дугу $\cup MN$ и большую дугу $\cup MN$.

Согласно условию, градусные меры этих дуг относятся как $5:7$. Полная окружность составляет $360^\circ$. Пусть градусная мера меньшей дуги равна $5x$, а большей — $7x$. Тогда мы можем составить уравнение:

$5x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

Градусная мера меньшей дуги $\cup MN = 5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Градусная мера большей дуги $\cup MN = 7x = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $CMON$. В нем:

• $C$ — вершина угла.
• $M$ и $N$ — точки касания.
• $O$ — центр вписанной окружности.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, $OM \perp AC$ и $ON \perp BC$. Это означает, что углы $\angle CMO$ и $\angle CNO$ прямые:

$\angle CMO = 90^\circ$

$\angle CNO = 90^\circ$

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $CMON$ имеем:

$\angle ACB + \angle CMO + \angle MON + \angle CNO = 360^\circ$

Центральный угол $\angle MON$ опирается на меньшую дугу $\cup MN$, поэтому его величина равна градусной мере этой дуги:

$\angle MON = 150^\circ$

Подставим известные значения в уравнение для суммы углов четырехугольника:

$\angle ACB + 90^\circ + 150^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle ACB + 330^\circ = 360^\circ$

$\angle ACB = 360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$

Другой способ решения заключается в том, что для углов четырехугольника $CMON$ справедливо соотношение $\angle ACB + \angle MON = 180^\circ$, так как два других угла прямые. Отсюда:

$\angle ACB = 180^\circ - \angle MON = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.

30. Дуги AB и DE окружности составляют соответственно $85^\circ$ и $45^\circ$. Найдите угол ACB, образованный хордами AD и BE, пересекающимися в точке C.

Для нахождения угла, образованного двумя пересекающимися внутри окружности хордами, используется соответствующая теорема. Теорема гласит, что величина такого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые заключены между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В нашей задаче хорды $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $C$. Мы ищем угол $\angle ACB$. Угол, вертикальный к нему, это $\angle DCE$. Угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, а угол $\angle DCE$ — на дугу $DE$.

Таким образом, формула для вычисления угла $\angle ACB$ следующая: $\angle ACB = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{DE})$

Из условия задачи известны градусные меры этих дуг: $\overset{\frown}{AB} = 85^\circ$ $\overset{\frown}{DE} = 45^\circ$

Подставим данные значения в формулу: $\angle ACB = \frac{1}{2} (85^\circ + 45^\circ)$

Выполним вычисления: $\angle ACB = \frac{1}{2} (130^\circ)$ $\angle ACB = 65^\circ$

Для полноты решения приведем доказательство используемой теоремы. Соединим точки $A$ и $E$. Рассмотрим треугольник $\triangle AEC$. Угол $\angle ACB$ является внешним для этого треугольника при вершине $C$. По свойству внешнего угла, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним: $\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$

Угол $\angle CAE$ (тот же, что и $\angle DAE$) является вписанным углом, который опирается на дугу $DE$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается: $\angle CAE = \frac{1}{2} \overset{\frown}{DE}$

Аналогично, угол $\angle AEC$ (тот же, что и $\angle AEB$) — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$: $\angle AEC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB}$

Подставив эти выражения в формулу для внешнего угла, получим: $\angle ACB = \frac{1}{2} \overset{\frown}{DE} + \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{DE})$ Это доказывает справедливость формулы, использованной для решения.

Ответ: $65^\circ$

31. Найдите угол $ACD$, если его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CD$ проходит через центр окружности, а дуга $\stackrel{\textstyle\frown}{AD}$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $70^\circ$.

Пусть O — центр окружности. По условию, сторона CA касается окружности в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, радиус OA перпендикулярен касательной CA, а это означает, что треугольник $\triangle OAC$ — прямоугольный, и его угол $\angle OAC = 90°$.

Сторона CD проходит через центр окружности O, а дуга AD, заключенная внутри угла, равна $70°$. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Угол $\angle AOD$ является центральным углом, который опирается на дугу AD. Таким образом, $\angle AOD = 70°$.

Поскольку точки C, O и D лежат на одной прямой (так как сторона CD проходит через центр O), лучи OC и OD совпадают. Следовательно, угол $\angle AOC$ равен углу $\angle AOD$, то есть $\angle AOC = 70°$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Мы можем записать:

$\angle ACO + \angle AOC + \angle OAC = 180°$

Подставим известные значения углов:

$\angle ACO + 70° + 90° = 180°$

$\angle ACO + 160° = 180°$

$\angle ACO = 180° - 160°$

$\angle ACO = 20°$

Так как искомый угол $\angle ACD$ и угол $\angle ACO$ — это один и тот же угол, то $\angle ACD = 20°$.

Ответ: 20°.

32. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $E$, $AE = 3$, $DE = 2$, $CE = 6$. Найдите $BE$.

32. Для решения этой задачи используется теорема о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E, то произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду.

Это свойство можно выразить следующей формулой: $AE \cdot BE = CE \cdot DE$.

Из условия задачи нам известны длины следующих отрезков: $AE = 3$, $DE = 2$ и $CE = 6$. Нам необходимо найти длину отрезка $BE$.

Подставим известные значения в формулу:
$3 \cdot BE = 6 \cdot 2$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала вычислим произведение в правой части:
$3 \cdot BE = 12$

Чтобы найти $BE$, разделим обе части уравнения на 3:
$BE = \frac{12}{3}$
$BE = 4$

Следовательно, длина отрезка BE равна 4.

Ответ: 4.

33. Через точку $E$, лежащую вне окружности, проведены два луча, один из которых касается окружности в точке $A$, а другой пересекает окружность в точках $B$ и $C$. $BE = 8$, $CE = 2$. Найдите $AE$.

Для решения данной задачи применяется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же внешней точки до точек её пересечения с окружностью.

Пусть AE — касательная к окружности, где A — точка касания.Пусть прямая, проходящая через точки E, B и C, является секущей.Согласно условию, точка E лежит вне окружности, а точки B и C — на окружности.Длины отрезков от точки E до точек пересечения с окружностью равны CE = 2 и BE = 8.Поскольку BE >CE, точка C находится между точками E и B.Следовательно, EC — это длина внешней части секущей, а EB — это длина всей секущей (от внешней точки до дальней точки пересечения).

Формула, выражающая теорему о касательной и секущей, выглядит так:

$AE^2 = EC \cdot EB$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

$AE^2 = 2 \cdot 8$

$AE^2 = 16$

Теперь найдем длину AE, извлекая квадратный корень из 16. Поскольку длина отрезка — величина положительная, мы рассматриваем только арифметический корень.

$AE = \sqrt{16}$

$AE = 4$

Ответ: 4

34. Радиус $OA$ окружности равен 6. Через середину $E$ радиуса проведена хорда $CD$. Найдите произведение отрезков $CE$ и $DE$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Это свойство, также известное как теорема о степени точки относительно окружности, гласит: если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

В данной задаче у нас есть хорда CD. Чтобы применить теорему, нам нужна вторая хорда, пересекающая CD в той же точке E. В качестве второй хорды мы можем рассмотреть диаметр окружности, который проходит через точку E. Давайте проведем диаметр через радиус OA. Обозначим концы этого диаметра точками F и G, так что точка A лежит на этом диаметре.

Пусть центр окружности — точка O. По условию, радиус OA равен 6.$R = OA = 6$.Точка E — середина радиуса OA. Следовательно, она делит его на два отрезка равной длины:$AE = \frac{OA}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Две хорды — CD и диаметр FG — пересекаются в точке E. По теореме о пересекающихся хордах, мы можем записать:$CE \cdot DE = FE \cdot EG$.

Теперь нам нужно найти длины отрезков FE и EG. Эти отрезки являются частями диаметра FG.Отрезок FE совпадает с отрезком AE, так как точка A является одним из концов диаметра. Таким образом, $FE = AE = 3$.Отрезок EG — это оставшаяся часть диаметра. Его длину можно вычислить как сумму длины отрезка от центра до точки E и длины радиуса от центра до точки G.Найдем расстояние от центра O до точки E:$OE = OA - AE = 6 - 3 = 3$.Длина отрезка EG равна:$EG = OE + OG = 3 + R = 3 + 6 = 9$.

Теперь мы можем вычислить искомое произведение:$CE \cdot DE = FE \cdot EG = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27.

35. Радиус $OA$ окружности равен 8. Через середину $E$ радиуса проведена хорда $CD$, $CE = 6$. Найдите $DE$.

Пусть O — центр окружности. По условию задачи, радиус окружности $OA$ равен 8.

Точка E является серединой радиуса $OA$. Следовательно, она делит радиус на два равных отрезка $AE$ и $OE$: $AE = OE = \frac{OA}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Через точку E проведена хорда $CD$. Для нахождения длины отрезка $DE$ воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности (теоремой о степени точки).

Продолжим радиус $OA$ до диаметра, пусть его концы на окружности будут точки F и G (причем точка A совпадает с точкой G). Таким образом, в точке E пересекаются две хорды: $CD$ и диаметр $FG$.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды: $CE \cdot DE = FE \cdot EG$.

Найдем длины отрезков $FE$ и $EG$, на которые точка E делит диаметр $FG$. Длина отрезка $EG$ равна длине отрезка $AE$, то есть $EG = AE = 4$. Длина отрезка $FE$ равна сумме радиуса $FO$ и отрезка $OE$. Поскольку $FO$ — это радиус, $FO = 8$. $FE = FO + OE = 8 + 4 = 12$.

Теперь подставим известные значения в формулу. Нам дано, что $CE = 6$. $6 \cdot DE = 12 \cdot 4$

$6 \cdot DE = 48$

$DE = \frac{48}{6}$

$DE = 8$

Ответ: 8

36. Радиус окружности равен $3$ см. На продолжении радиуса взята точка $E$, отстоящая от центра $O$ окружности на расстояние $5$ см. Через точку $E$ проведен луч, пересекающий окружность в точках $B$ и $C$. Найдите произведение отрезков $BE$ и $CE$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности (или теоремой о произведении отрезков секущих). Согласно этой теореме, для точки, лежащей вне окружности, произведение расстояний от этой точки до точек пересечения с окружностью по любой секущей есть величина постоянная.

Пусть E — точка вне окружности, а луч, проведенный через E, пересекает окружность в точках B и C. Мы ищем произведение $BE \cdot CE$.

Эта постоянная величина, называемая степенью точки E относительно окружности, может быть вычислена с использованием любой удобной секущей. Самый простой случай — секущая, проходящая через центр окружности O.

Пусть секущая, проходящая через E и O, пересекает окружность в точках A (ближайшая к E) и D (дальняя от E).

По теореме о секущих, справедливо равенство:

$BE \cdot CE = AE \cdot DE$

Нам даны:

Радиус окружности $R = 3$ см.

Расстояние от центра O до точки E: $OE = 5$ см.

Теперь найдем длины отрезков AE и DE:

Длина отрезка AE (расстояние от E до ближайшей точки на окружности вдоль линии OE) равна:

$AE = OE - R = 5 - 3 = 2$ см.

Длина отрезка DE (расстояние от E до дальней точки на окружности вдоль линии OE) равна:

$DE = OE + R = 5 + 3 = 8$ см.

Теперь мы можем найти искомое произведение:

$BE \cdot CE = AE \cdot DE = 2 \cdot 8 = 16$.

Также, степень точки E можно было вычислить по формуле $OE^2 - R^2$:

$BE \cdot CE = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.

Ответ: 16.