Страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Что является центром симметрии отрезка?

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична самой себе. Это означает, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре. Преобразование симметрии относительно точки также называют поворотом на $180^\circ$ вокруг этой точки.

Рассмотрим отрезок, который мы можем обозначить как $AB$, где $A$ и $B$ — его концы. Найдем на этом отрезке такую точку $M$, которая является его серединой. По определению середины отрезка, она делит его на две равные части, то есть длина отрезка $AM$ равна длине отрезка $MB$ ($AM = MB$), и сама точка $M$ лежит между $A$ и $B$.

Проверим, является ли середина $M$ центром симметрии отрезка $AB$.

1. Возьмем конец отрезка — точку $A$. Точка, симметричная $A$ относительно $M$, — это точка $B$, так как $M$ является серединой отрезка $AB$. Точка $B$ принадлежит отрезку $AB$.

2. Аналогично, точка, симметричная концу $B$ относительно $M$, — это точка $A$, которая также принадлежит отрезку $AB$.

3. Возьмем любую внутреннюю точку $P$ отрезка $AB$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $M$, будет лежать на прямой, содержащей отрезок $AB$, на таком же расстоянии от $M$, что и точка $P$, но по другую сторону от $M$. Поскольку $P$ находится на отрезке $AB$, то расстояние $PM$ не превышает половины длины отрезка ($AM$ или $MB$). Следовательно, точка $P'$ также будет находиться на отрезке $AB$.

Таким образом, любая точка отрезка $AB$ при симметрии относительно его середины $M$ переходит в точку, также принадлежащую этому отрезку. Следовательно, середина отрезка и есть его центр симметрии. Никакая другая точка не обладает этим свойством, так как при симметрии относительно любой другой точки хотя бы один из концов отрезка перейдет в точку, не принадлежащую отрезку.

Ответ: Центром симметрии отрезка является его середина.

24. Центральная симметрия переводит точку $A$ в точку $A'$.

Где находится центр симметрии?

По определению, центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это такое преобразование плоскости или пространства, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Из этого определения следует, что три точки — исходная точка $A$, ее образ $A'$ и центр симметрии $O$ — всегда лежат на одной прямой. При этом центр симметрии $O$ равноудален от точек $A$ и $A'$, то есть $AO = OA'$.

Следовательно, чтобы найти положение центра симметрии, зная положение точек $A$ и $A'$, необходимо соединить эти точки отрезком. Искомый центр симметрии будет находиться ровно посередине этого отрезка.

Если бы точки были заданы в координатах, например, $A(x_A, y_A)$ и $A'(x_{A'}, y_{A'})$, то координаты центра симметрии $O(x_O, y_O)$ можно было бы вычислить по формулам для нахождения координат середины отрезка:
$x_O = \frac{x_A + x_{A'}}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_{A'}}{2}$

Ответ: Центр симметрии находится в середине отрезка, соединяющего точку А и точку А'.

25. Имеет ли центр симметрии:

а) луч;

б) пара пересекающихся прямых?

а)Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно точки $O$, также принадлежит этой фигуре. Это эквивалентно тому, что поворот фигуры на $180^\circ$ вокруг центра симметрии отображает фигуру на саму себя.

Рассмотрим луч. Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Он имеет начальную точку и бесконечно простирается в одном направлении.

Допустим, у луча существует центр симметрии $C$.

1. Если предположить, что центр симметрии $C$ совпадает с началом луча, точкой $O$, то для любой точки $A$ на луче, отличной от $O$, симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ будет лежать на той же прямой, но по другую сторону от $O$. Эта точка $A'$ не принадлежит лучу. Значит, начало луча не является его центром симметрии.

2. Если предположить, что центр симметрии $C$ — это другая точка на луче, не совпадающая с его началом $O$. Тогда возьмем точку $P$, принадлежащую лучу и находящуюся на таком большом расстоянии от начала, что точка $C$ лежит между $O$ и $P$. Симметричная точке $P$ относительно $C$ точка $P'$ будет лежать на той же прямой, но с другой стороны от $C$. Если выбрать точку $P$ достаточно далеко от $C$, то точка $P'$ окажется за пределами луча (по другую сторону от его начала $O$). Следовательно, ни одна точка на луче не может быть его центром симметрии.

3. Если точка $C$ не лежит на прямой, содержащей луч, то для любой точки $A$ на луче симметричная ей точка $A'$ относительно $C$ не будет лежать на этой прямой, а значит, не будет принадлежать лучу.

Таким образом, у луча нет центра симметрии.

Ответ: нет.

б)Рассмотрим пару пересекающихся прямых. Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$.

Проверим, является ли точка пересечения $O$ центром симметрии для этой фигуры (которая представляет собой объединение двух прямых).

Возьмем произвольную точку $A$, принадлежащую фигуре.

1. Если точка $A$ лежит на прямой $l_1$, то точка $A'$, симметричная ей относительно точки $O$ (которая также лежит на $l_1$), будет также лежать на прямой $l_1$. Следовательно, $A'$ принадлежит фигуре.

2. Если точка $A$ лежит на прямой $l_2$, то точка $A'$, симметричная ей относительно точки $O$ (которая также лежит на $l_2$), будет также лежать на прямой $l_2$. Следовательно, $A'$ принадлежит фигуре.

3. Если точка $A$ совпадает с точкой $O$, то симметричная ей точка есть сама точка $O$, которая принадлежит фигуре.

Поскольку для любой точки фигуры симметричная ей относительно точки $O$ точка также принадлежит фигуре, точка пересечения $O$ является центром симметрии. Любая другая точка не может быть центром симметрии, так как, например, при симметрии относительно точки, не лежащей на одной из прямых, точка с этой прямой перейдет в точку, не лежащую на исходной фигуре.

Ответ: да.

26. Имеет ли центр симметрии:

а) правильный треугольник;

б) равнобедренный треугольник, не являющийся правильным;

в) прямоугольник;

г) параллелограмм, не являющийся ромбом;

д) равнобедренная трапеция;

е) окружность?

а) правильный треугольникФигура имеет центр симметрии, если существует такая точка $O$ (центр симметрии), что при повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки фигура переходит сама в себя. Для любого многоугольника, обладающего центром симметрии, его вершины должны быть симметричны относительно этого центра. Это значит, что вершины должны разбиваться на пары симметричных точек. У треугольника 3 вершины (нечетное число), поэтому невозможно разбить их на пары. Следовательно, ни один треугольник, включая правильный, не имеет центра симметрии.Ответ: нет.

б) равнобедренный треугольник, не являющийся правильнымКак и в случае с правильным треугольником, любой треугольник имеет 3 вершины. Так как 3 — нечетное число, вершины невозможно сгруппировать в пары, симметричные относительно какой-либо точки. Если бы центр симметрии существовал, то каждая вершина при повороте на $180^\circ$ должна была бы перейти в другую вершину, что невозможно для фигуры с нечетным числом вершин.Ответ: нет.

в) прямоугольникДа, прямоугольник имеет центр симметрии. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку $O$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть вершины прямоугольника — $A, B, C, D$. Тогда $O$ — середина диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что при повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершина $B$ — в вершину $D$. Соответственно, сторона $AB$ переходит в сторону $CD$, а сторона $BC$ — в сторону $DA$. Таким образом, весь прямоугольник переходит сам в себя.Ответ: да.

г) параллелограмм, не являющийся ромбомДа, любой параллелограмм имеет центр симметрии. Свойством параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Эта точка пересечения и является центром симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки меняет местами противоположные вершины и противоположные стороны, отображая параллелограмм на самого себя. Условие «не являющийся ромбом» не отменяет этого свойства, так как оно присуще всем без исключения параллелограммам.Ответ: да.

д) равнобедренная трапецияНет, в общем случае равнобедренная трапеция не имеет центра симметрии. Предположим, что у трапеции есть центр симметрии $O$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ трапеция должна перейти сама в себя. При таком повороте прямые переходят в параллельные им прямые. Значит, прямая, содержащая одно основание трапеции, должна перейти в прямую, содержащую другое основание. Это возможно, но тогда и сами отрезки-основания должны перейти друг в друга. Это означает, что основания должны быть равны по длине. Трапеция с равными основаниями является параллелограммом. У обычной равнобедренной трапеции основания имеют разную длину, поэтому она не может иметь центра симметрии.Ответ: нет.

е) окружностьДа, окружность имеет центр симметрии. Ее центром симметрии является ее геометрический центр. Обозначим его $O$. По определению, все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии $R$ (радиус) от центра $O$. Пусть $A$ — любая точка на окружности. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, лежит на той же прямой, что и $A$ и $O$, на таком же расстоянии от $O$, но с другой стороны. То есть, $OA' = OA = R$. Следовательно, точка $A'$ также лежит на окружности. Так как это верно для любой точки окружности, ее центр является ее центром симметрии.Ответ: да.

27. Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей?

Да, центр симметрии фигуры может ей не принадлежать.

Согласно определению, точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$, если для каждой точки $A$ фигуры $F$ точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, также принадлежит фигуре $F$. В этом определении не содержится требования о принадлежности самого центра $O$ фигуре $F$.

Можно привести несколько примеров таких фигур:
1. Окружность. Центром симметрии окружности является ее геометрический центр. Для любой точки на окружности симметричная ей относительно центра точка также лежит на окружности. Однако сам центр не принадлежит окружности, так как окружность — это только линия, а центр — точка внутри нее.
2. Фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Центром симметрии для такой фигуры является любая точка, расположенная на прямой, которая параллельна данным и проходит ровно посередине между ними. Ни одна из этих точек (центров симметрии) не принадлежит самой фигуре, которая состоит только из двух исходных прямых.
3. Фигура из двух точек. Если фигура состоит всего из двух различных точек $A$ и $B$, то центром ее симметрии будет точка $O$ — середина отрезка $AB$. Эта точка $O$ не принадлежит фигуре, так как фигура состоит только из точек $A$ и $B$.

Ответ: да, может.

28. Может ли фигура иметь:

а) два;

б) три;

в) бесконечно много центров симметрии?

а)Предположим, что фигура имеет ровно два различных центра симметрии, назовем их $O_1$ и $O_2$.Пусть $S_{O_1}$ и $S_{O_2}$ — преобразования центральной симметрии относительно этих точек. Если фигура $F$ имеет центры симметрии $O_1$ и $O_2$, то она инвариантна относительно преобразований $S_{O_1}$ и $S_{O_2}$. Это означает, что для любой точки $A \in F$, точки $S_{O_1}(A)$ и $S_{O_2}(A)$ также принадлежат фигуре $F$.Рассмотрим композицию (последовательное применение) этих симметрий: $S_{O_2} \circ S_{O_1} \circ S_{O_2}$. Поскольку каждое из этих преобразований отображает фигуру $F$ на себя, их композиция также будет отображать фигуру $F$ на себя.Известно, что композиция трех центральных симметрий является центральной симметрией. Центром симметрии для преобразования $S_{O_2} \circ S_{O_1} \circ S_{O_2}$ является точка $O_3 = S_{O_2}(O_1)$, то есть точка, симметричная $O_1$ относительно $O_2$. Координаты этой точки выражаются как $O_3 = 2O_2 - O_1$.Так как $O_1$ и $O_2$ — различные точки, то точка $O_3$ отлична от $O_1$ и $O_2$. Действительно, если бы $O_3 = O_1$, то $2O_2 - O_1 = O_1 \implies 2O_2 = 2O_1 \implies O_2 = O_1$, что противоречит условию. Аналогично, $O_3 \neq O_2$.Таким образом, если фигура имеет два различных центра симметрии, она обязательно имеет и третий, отличный от первых двух. Это означает, что фигура не может иметь ровно два центра симметрии.

Ответ: Нет, не может.

б)Используем логику, аналогичную пункту а). Докажем, что фигура не может иметь любое конечное число центров симметрии $N > 1$.Пусть фигура имеет конечное множество центров симметрии $C = \{O_1, O_2, \dots, O_N\}$, где $N \ge 2$.Как было показано в пункте а), если $O_i$ и $O_j$ — два центра симметрии из множества $C$, то точка $S_{O_i}(O_j) = 2O_i - O_j$ также является центром симметрии. Следовательно, эта точка должна принадлежать множеству $C$. Это означает, что множество центров $C$ замкнуто относительно операции центральной симметрии с центром в любой из его точек.Рассмотрим случай $N=3$, то есть $C = \{O_1, O_2, O_3\}$. Тогда точка $S_{O_1}(O_2) = 2O_1 - O_2$ должна принадлежать $C$. Так как $O_1 \neq O_2$, то $S_{O_1}(O_2)$ не может быть равна $O_1$ или $O_2$, значит, $S_{O_1}(O_2) = O_3$. Из этого равенства следует, что $O_1$ является серединой отрезка $O_2O_3$.Аналогично, $S_{O_2}(O_1)$ должна быть равна $O_3$, то есть $O_2$ — середина отрезка $O_1O_3$.И $S_{O_3}(O_1)$ должна быть равна $O_2$, то есть $O_3$ — середина отрезка $O_1O_2$.Получаем систему уравнений для радиус-векторов точек:$O_1 = \frac{O_2+O_3}{2}$$O_2 = \frac{O_1+O_3}{2}$$O_3 = \frac{O_1+O_2}{2}$Подставив второе и третье уравнения в первое, получим: $2O_1 = \frac{O_1+O_3}{2} + \frac{O_1+O_2}{2} = \frac{2O_1+O_2+O_3}{2}$. Отсюда $4O_1 = 2O_1+O_2+O_3$, или $2O_1 = O_2+O_3$, что является исходным первым уравнением. Однако, если подставить $O_3$ из третьего уравнения в первое, получим $2O_1 = O_2 + \frac{O_1+O_2}{2} \implies 4O_1 = 2O_2 + O_1 + O_2 \implies 3O_1 = 3O_2 \implies O_1=O_2$. Это противоречит предположению, что центры симметрии различны.Следовательно, фигура не может иметь ровно три центра симметрии.

Ответ: Нет, не может.

в)Да, фигура может иметь бесконечно много центров симметрии. Приведем несколько примеров.1. Прямая. Любая точка, принадлежащая прямой, является ее центром симметрии. Если точка $A$ лежит на прямой, то точка $A'$, симметричная ей относительно любой другой точки $O$ на той же прямой, также будет лежать на этой прямой.2. Полоса. Это область на плоскости, заключенная между двумя параллельными прямыми. Любая точка, лежащая на средней линии этой полосы, является ее центром симметрии. Множество таких центров образует прямую, а значит, оно бесконечно.3. График функции $y = \cos(x)$. Эта волнистая кривая имеет бесконечное множество центров симметрии. Это точки $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число. Эти точки являются точками перегиба графика, в которых он пересекает ось абсцисс.4. Бесконечная решетка. Фигура, образованная всеми точками на плоскости с целочисленными координатами $(m, n)$, где $m, n \in \mathbb{Z}$. Центром симметрии для такой фигуры является любая точка решетки, а также центр любого отрезка, соединяющего две точки решетки (например, точка с координатами $(k/2, l/2)$ для любых целых $k, l$). Множество таких центров бесконечно.

Ответ: Да, может.

29. Постройте отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно центра $O$, если:

а) $O$ принадлежит прямой $AB$;

б) $O$ не принадлежит прямой $AB$.

а) O принадлежит прямой AB

Построение отрезка $A'B'$, симметричного отрезку $AB$ относительно центра $O$, когда точка $O$ лежит на прямой $AB$, выполняется в несколько шагов. Для этого нам понадобится линейка и циркуль.

1. Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра $O$, нужно провести луч из точки $A$ через точку $O$. Так как все три точки $A$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой, этот луч будет частью этой прямой.

2. С помощью циркуля измеряем расстояние $AO$.

3. На луче $AO$, с другой стороны от точки $O$, откладываем отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $AO$. В результате точка $O$ становится серединой отрезка $AA'$, и выполняется равенство $OA = OA'$.

4. Аналогичные действия повторяем для точки $B$. Проводим луч $BO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $BO$. Таким образом, точка $O$ будет серединой отрезка $BB'$, и будет выполняться равенство $OB = OB'$.

5. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Так как все точки ($A, B, O, A', B'$) лежат на одной прямой, полученный отрезок $A'B'$ также будет лежать на этой прямой.

Ответ: Отрезок $A'B'$, полученный в результате вышеописанных действий, является искомым отрезком, симметричным отрезку $AB$ относительно центра $O$, лежащего на прямой $AB$.

б) O не принадлежит прямой AB

Построение отрезка $A'B'$, симметричного отрезку $AB$ относительно центра $O$, когда точка $O$ не лежит на прямой $AB$, выполняется следующим образом:

1. Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно центра $O$, соединяем точку $A$ с центром $O$ с помощью прямой линии (проводим отрезок $AO$).

2. Продлеваем отрезок $AO$ за точку $O$.

3. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $AO$. Затем, установив острие циркуля в точку $O$, на продолжении прямой $AO$ отмечаем точку $A'$ так, чтобы расстояние $OA'$ было равно расстоянию $AO$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $AA'$, и выполняется равенство $OA = OA'$.

4. Повторяем те же шаги для точки $B$. Соединяем точку $B$ с центром $O$ и продлеваем полученный отрезок $BO$ за точку $O$. Откладываем на этой прямой отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $BO$. Таким образом, $O$ - середина отрезка $BB'$, и $OB = OB'$.

5. Соединяем полученные точки $A'$ и $B'$ отрезком. Этот отрезок $A'B'$ и будет искомым.

В результате такого построения мы получаем отрезок $A'B'$, который равен по длине исходному отрезку $AB$ и параллелен ему ($A'B' = AB$, $A'B' \parallel AB$).

Ответ: Отрезок $A'B'$, построенный по указанным шагам, является симметричным отрезку $AB$ относительно центра $O$, не принадлежащего прямой $AB$.

30. Постройте прямую, симметричную данной прямой относительно точки, не принадлежащей этой прямой.

Для построения прямой, симметричной данной прямой относительно точки, не принадлежащей этой прямой, необходимо выполнить следующие шаги. Этот процесс основан на свойстве центральной симметрии, при которой образом прямой является прямая, параллельная данной.

Алгоритм построения

Пусть дана прямая $a$ и точка $O$, не лежащая на прямой $a$.

1. На исходной прямой $a$ выберем две произвольные различные точки. Назовем их $A$ и $B$. Для построения прямой достаточно двух точек.

2. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра симметрии $O$. Для этого проведем луч из точки $A$ через точку $O$. С помощью циркуля измерим расстояние $AO$ и отложим его на луче $AO$ за точкой $O$. Полученная точка $A'$ будет симметрична точке $A$ относительно $O$, при этом $AO = OA'$.

3. Аналогично построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно центра $O$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$. Полученная точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно $O$, при этом $BO = OB'$.

4. Соединим точки $A'$ и $B'$ прямой. Полученная прямая $a'$ является искомой прямой, симметричной прямой $a$ относительно точки $O$.

Обоснование

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$.

• $AO = OA'$ по построению.
• $BO = OB'$ по построению.
• $\angle AOB = \angle A'OB'$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle OAB = \angle OA'B'$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $a$ (которая проходит через точки $A$ и $B$) и $a'$ (которая проходит через точки $A'$ и $B'$) секущей $AA'$.

Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые $a$ и $a'$ параллельны, то есть $a \parallel a'$. Таким образом, мы построили прямую, все точки которой симметричны точкам исходной прямой относительно центра $O$.

Ответ: Чтобы построить прямую, симметричную данной прямой $a$ относительно точки $O$, нужно выбрать на прямой $a$ две произвольные точки $A$ и $B$, построить их симметричные образы $A'$ и $B'$ относительно точки $O$, а затем провести прямую через точки $A'$ и $B'$. Полученная прямая будет параллельна исходной.

31. Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии и не имеющих оси симметрии.

Фигура имеет центр симметрии (является центрально-симметричной), если существует такая точка O (центр симметрии), что поворот фигуры вокруг этой точки на $180^\circ$ переводит фигуру в себя. Фигура имеет ось симметрии (является осесимметричной), если существует такая прямая l (ось симметрии), что отражение относительно этой прямой переводит фигуру в себя. Ниже приведены примеры фигур, которые имеют центр симметрии, но не имеют осей симметрии.

Параллелограмм

Параллелограмм, не являющийся частным случаем (то есть не прямоугольник и не ромб), является классическим примером. Точка пересечения его диагоналей служит центром симметрии. Если мы повернем параллелограмм на $180^\circ$ вокруг этой точки, каждая вершина перейдет в противоположную, и фигура полностью совпадет сама с собой. Однако у такого общего параллелограмма нет ни одной оси симметрии. Отражение относительно диагоналей или линий, соединяющих середины противоположных сторон, не приведет к совмещению фигуры с ее первоначальным положением.

Ответ: Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом.

Фигура в форме буквы Z или S

Геометрическая фигура, повторяющая форму латинской буквы Z или S, обладает центром симметрии. Для буквы Z центр симметрии находится в середине ее наклонного отрезка, а для буквы S — в ее геометрическом центре. Поворот на $180^\circ$ вокруг этого центра переводит фигуру в саму себя. В то же время, очевидно, что невозможно провести такую прямую, при перегибании по которой фигура совместилась бы сама с собой. Таким образом, у этих фигур нет осей симметрии.

Ответ: Фигура, имеющая форму буквы Z или S.

Объединение двух конгруэнтных асимметричных фигур

Можно построить бесконечное множество таких фигур, используя общий принцип. Возьмем любую фигуру F, у которой нет ни центра, ни оси симметрии (например, неравносторонний треугольник или произвольная «клякса»). Выберем любую точку O. Построим фигуру F', симметричную фигуре F относительно точки O. Объединение этих двух фигур, F и F', по определению будет иметь центр симметрии в точке O. При этом, так как исходная фигура F была полностью асимметрична, у составной фигуры в общем случае не будет ни одной оси симметрии.

Ответ: Фигура, составленная из двух равных неравносторонних треугольников, симметричных друг другу относительно точки, не принадлежащей им.

32. Приведите примеры фигур, имеющих оси симметрии и не имеющих центра симметрии.

Равнобедренный треугольник (не являющийся равносторонним)

Такой треугольник имеет одну ось симметрии — прямую, содержащую высоту, медиану и биссектрису, проведенную к его основанию. При отражении относительно этой оси треугольник совмещается сам с собой, так как боковые стороны равны и углы при основании равны.

При этом центр симметрии у равнобедренного треугольника отсутствует. Центр симметрии — это точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура переходит в себя. Для такого треугольника подобной точки не существует. Например, при повороте на $180^\circ$ вокруг центра тяжести (точки пересечения медиан), вершины треугольника перейдут в новые положения, и полученная фигура не совпадет с исходной.

Ответ: Равнобедренный треугольник (не являющийся равносторонним).

Равнобокая трапеция

Равнобокая (или равнобедренная) трапеция имеет одну ось симметрии. Эта ось проходит через середины параллельных оснований трапеции и перпендикулярна им. Отражение относительно этой оси меняет местами равные боковые стороны и соответствующие углы при основаниях, в результате чего фигура совмещается сама с собой.

Однако у равнобокой трапеции нет центра симметрии (за исключением случая, когда она является прямоугольником). При повороте на $180^\circ$ вокруг любой точки, например, точки пересечения диагоналей, фигура не перейдет в себя. Верхнее и нижнее основания поменяются местами, но так как они имеют разную длину, совмещения не произойдет.

Ответ: Равнобокая трапеция.

Дельтоид (не являющийся ромбом)

Дельтоид — это четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны. Он имеет одну ось симметрии, которая проходит через диагональ, соединяющую вершины между равными сторонами. Отражение относительно этой оси меняет местами две пары равных сторон, и фигура переходит в себя.

Центра симметрии у дельтоида нет. Поворот на $180^\circ$ не совмещает фигуру с собой, так как у него, в общем случае, не равны противолежащие стороны и углы. Центр симметрии появляется только в частном случае, когда дельтоид становится ромбом.

Ответ: Дельтоид (не являющийся ромбом).

Также в качестве примеров можно привести параболу, полукруг, угол (не развернутый) или симметричные буквы алфавита, такие как А, Т, М, П.

33. Постройте точки, в которые переходит заданная точка A при повороте вокруг заданной точки O на углы $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$.

Для решения задачи о построении точек, в которые переходит точка $A$ при повороте вокруг центра $O$ на заданный угол, мы будем использовать циркуль и линейку. Основной принцип поворота заключается в том, что расстояние от центра поворота до точки сохраняется, а угол между начальным и конечным положением радиус-вектора равен углу поворота. Это означает, что все искомые точки будут лежать на окружности с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$. Построения для каждого угла будут выполняться последовательно.

Поворот на 30°

Построение угла в $30^\circ$ основано на построении угла в $60^\circ$ (угол равностороннего треугольника) и последующем делении этого угла пополам с помощью построения биссектрисы.

1. Проведем луч $OA$ и построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Обозначим эту окружность $k$.

2. Не меняя раствора циркуля (равного $R=OA$), установим его ножку в точку $A$ и проведем дугу так, чтобы она пересекла окружность $k$. Назовем точку пересечения $B$. Поскольку $OA = OB = AB = R$, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, и, следовательно, угол $\angle AOB = 60^\circ$.

3. Для деления угла $\angle AOB$ пополам построим его биссектрису. С помощью циркуля из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового произвольного радиуса внутри угла до их пересечения в точке $C$.

4. Проведем луч $OC$. Точка, в которой этот луч пересекает окружность $k$, является искомой точкой $A_1$. По построению, $OA_1 = OA$ и $\angle AOA_1 = \frac{1}{2} \angle AOB = 30^\circ$.

Ответ: Точка $A_1$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $30^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 60°

Угол в $60^\circ$ легко построить, так как он является внутренним углом равностороннего треугольника.

1. Проведем окружность $k$ с центром в $O$ и радиусом $R=OA$.

2. Установим ножку циркуля в точку $A$ и, сохранив радиус $R=OA$, проведем дугу, которая пересечет окружность $k$ в точке $A_2$.

3. Треугольник $\triangle OAA_2$ является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу окружности $k$ ($OA = OA_2 = AA_2 = R$). Следовательно, угол $\angle AOA_2 = 60^\circ$.

Ответ: Точка $A_2$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $60^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 120°

Угол в $120^\circ$ можно получить, последовательно отложив два угла по $60^\circ$, так как $120^\circ = 60^\circ + 60^\circ$.

1. Построим окружность $k$ с центром в $O$ и радиусом $R=OA$.

2. Повторим построение для угла $60^\circ$: из точки $A$ проведем дугу радиусом $R=OA$, пересекающую окружность $k$ в точке $A_2$. Мы получили угол $\angle AOA_2 = 60^\circ$.

3. Теперь, не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $A_2$ и проведем еще одну дугу, которая пересечет окружность $k$ в новой точке $A_3$.

4. Угол $\angle A_2OA_3$ также равен $60^\circ$. Итоговый угол поворота от луча $OA$ до луча $OA_3$ составляет $\angle AOA_3 = \angle AOA_2 + \angle A_2OA_3 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Точка $A_3$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $120^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 180°

Поворот на $180^\circ$ — это центральная симметрия относительно центра поворота. Искомая точка будет лежать на той же прямой, что и исходная точка и центр, но по другую сторону от центра.

1. С помощью линейки проведем прямую через точки $A$ и $O$.

2. Установим ножку циркуля в точку $O$, а грифель — в точку $A$.

3. Проведем дугу этим радиусом так, чтобы она пересекла прямую $AO$ с другой стороны от точки $O$. Точка пересечения и есть искомая точка $A_4$.

Точки $A$, $O$ и $A_4$ лежат на одной прямой, при этом $OA = OA_4$. Угол $\angle AOA_4$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$.

Ответ: Точка $A_4$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $180^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 270°

Поворот на $270^\circ$ против часовой стрелки можно рассматривать как поворот на $180^\circ$ с последующим поворотом на $90^\circ$ ($270^\circ = 180^\circ + 90^\circ$), либо как поворот на $-90^\circ$ (по часовой стрелке). Мы построим его путем построения перпендикуляра.

1. Построим окружность $k$ с центром в $O$ и радиусом $R=OA$.

2. Проведем прямую через $A$ и $O$.

3. Построим прямую $l$, проходящую через $O$ и перпендикулярную прямой $AO$. Для этого можно сначала построить точку $A_4$ (поворот на $180^\circ$), как в предыдущем пункте. Затем построим серединный перпендикуляр к отрезку $AA_4$: из точек $A$ и $A_4$ как из центров проведем две пары дуг одинакового радиуса (большего, чем $OA$) так, чтобы дуги из одной пары пересекались. Прямая $l$, соединяющая точки пересечения этих дуг, пройдет через $O$ и будет перпендикулярна $AO$.

4. Прямая $l$ пересечет окружность $k$ в двух точках. Для поворота на $270^\circ$ против часовой стрелки необходимо выбрать ту точку пересечения, которая следует за точкой $A_4$ при движении по окружности против часовой стрелки от точки $A$. Обозначим эту точку $A_5$.

Угол $\angle AOA_5$, отсчитанный против часовой стрелки, равен $270^\circ$.

Ответ: Точка $A_5$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $270^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

34. На какой угол нужно повернуть прямую, чтобы полученная прямая была:

а) перпендикулярна исходной;

б) параллельна исходной.

а) Чтобы полученная прямая стала перпендикулярна исходной, ее необходимо повернуть на угол, равный $90^\circ$. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, который составляет $90^\circ$.

Рассмотрим это с точки зрения угловых коэффициентов. Пусть исходная прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, тогда ее угловой коэффициент равен $k_1 = \tan(\alpha)$. При повороте на угол $\beta$ новая прямая образует угол $\alpha+\beta$, и ее угловой коэффициент равен $k_2 = \tan(\alpha+\beta)$. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) выглядит как $k_1 \cdot k_2 = -1$. Подставляя выражения для коэффициентов, получаем: $\tan(\alpha) \cdot \tan(\alpha+\beta) = -1$. Отсюда следует, что $\tan(\alpha+\beta) = -\frac{1}{\tan(\alpha)} = -\cot(\alpha)$. Используя формулу приведения, мы знаем, что $\tan(\alpha+90^\circ) = -\cot(\alpha)$, следовательно, наименьший положительный угол поворота $\beta$ равен $90^\circ$.

Стоит отметить, что прямая не имеет направления, поэтому поворот на $180^\circ$ переводит прямую в себя. Таким образом, любой угол вида $90^\circ + 180^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число, также даст перпендикулярную прямую. Например, угол $270^\circ$ ($n=1$). Обычно в качестве ответа указывают наименьший положительный угол. Ответ: на угол $90^\circ$.

б) Чтобы полученная прямая стала параллельна исходной, она должна иметь тот же угол наклона. Это означает, что ее нужно повернуть на угол, кратный $180^\circ$.

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2$. Используя обозначения из пункта а), имеем: $\tan(\alpha) = \tan(\alpha+\beta)$. Поскольку функция тангенса имеет период $180^\circ$, это равенство выполняется, когда $\beta = 180^\circ \cdot n$ для любого целого числа $n$.

Если $n=0$, то угол поворота равен $0^\circ$, и прямая остается на месте. Совпадающие прямые считаются частным случаем параллельных. Если требуется получить новую прямую, то нужно взять ненулевое значение $n$. Наименьший по модулю ненулевой угол поворота получается при $n=1$ (или $n=-1$) и равен $180^\circ$. При повороте на $180^\circ$ прямая переходит в прямую, параллельную исходной (она совпадет с исходной, если центр вращения лежит на прямой, и будет параллельна, но не совпадать, если центр вращения лежит вне прямой). Ответ: на угол $180^\circ$.

35. Точка $A'$ получена из точки $A$ поворотом. Можно ли по этим данным однозначно определить угол поворота?

Нет, по этим данным однозначно определить угол поворота невозможно.

Поворот на плоскости однозначно задается центром поворота и углом поворота (с указанием направления). В условии задачи даны только начальная точка $A$ и конечная точка $A'$, полученная в результате поворота. Однако центр поворота $O$ не указан.

При любом повороте, переводящем точку $A$ в $A'$, расстояние от центра поворота $O$ до этих точек должно быть одинаковым, то есть $OA = OA'$. Это означает, что центр поворота $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AA'$.

Поскольку в качестве центра поворота может выступать любая точка на этом серединном перпендикуляре, существует бесконечное множество возможных поворотов. Угол поворота определяется как величина угла $\angle AOA'$. Эта величина зависит от выбора конкретной точки $O$ на серединном перпендикуляре.

Рассмотрим примеры:

1. Если в качестве центра поворота $O$ выбрать середину $M$ отрезка $AA'$, то угол поворота $\angle AMA'$ будет равен $180^\circ$.

2. Если выбрать любую другую точку $O_1$ на серединном перпендикуляре, то угол $\angle AO_1A'$ будет иметь другое значение. Чем дальше точка $O_1$ находится от отрезка $AA'$, тем меньше будет этот угол.

Таким образом, поскольку центр поворота не определен, существует бесконечное множество пар (центр, угол), которые удовлетворяют условию перевода точки $A$ в $A'$. Следовательно, угол поворота не может быть определен однозначно.

Даже в частном случае, когда $A$ и $A'$ совпадают, угол не определен однозначно. Это мог быть поворот на $0^\circ$ или на любой угол, кратный $360^\circ$, вокруг произвольного центра. Если же сама точка $A$ является центром поворота, то она остается на месте при повороте на абсолютно любой угол.

Ответ: Нет, по указанным данным однозначно определить угол поворота невозможно, так как не задан центр поворота.

36. Точка $A'$ получена из точки $A$ поворотом на угол $60^\circ$. Можно ли по этим данным однозначно определить точку $O$, вокруг которой произведен поворот?

По определению поворота точки $A$ вокруг центра $O$ на некоторый угол, образом точки $A$ является такая точка $A'$, что расстояния от центра поворота до начальной и конечной точек равны ($OA = OA'$), а угол, образованный начальной точкой, центром поворота и конечной точкой, равен углу поворота ($\angle AOA'$).

В условии задачи задан угол поворота $60^\circ$. Это означает, что для искомого центра поворота $O$ должны одновременно выполняться два условия:
1. $OA = OA'$ (точка $O$ равноудалена от $A$ и $A'$).
2. $\angle AOA' = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOA'$. Из первого условия следует, что он является равнобедренным. Из второго условия следует, что угол при вершине $O$ равен $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и их величина составляет $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Таким образом, все углы треугольника $\triangle AOA'$ равны $60^\circ$, а значит, он является равносторонним.

Следовательно, центр поворота $O$ должен образовывать с точками $A$ и $A'$ равносторонний треугольник, то есть должно выполняться равенство $OA = OA' = AA'$.

На любом отрезке, в данном случае $AA'$, можно построить два равносторонних треугольника, вершины которых будут лежать по разные стороны от прямой, содержащей этот отрезок. Обозначим эти две возможные вершины как $O_1$ и $O_2$.

Обе точки, $O_1$ и $O_2$, удовлетворяют условиям. Поворот точки $A$ вокруг центра $O_1$ на угол $60^\circ$ в одном направлении (например, против часовой стрелки) переведет ее в точку $A'$. В то же время, поворот точки $A$ вокруг центра $O_2$ на угол $60^\circ$ в противоположном направлении (по часовой стрелке) также переведет ее в точку $A'$.

Поскольку в условии не задано направление поворота (по или против часовой стрелки), то существуют две разные точки, которые могут являться центром поворота. Поэтому однозначно определить положение точки $O$ невозможно.

Ответ: Нет, однозначно определить точку $O$ нельзя, так как существует две точки, которые могут служить центром поворота, удовлетворяющего заданным условиям.

37. Правильный треугольник повернули на 180° вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного треугольников?

Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник, назовем его $T_1$. Центр описанной окружности правильного треугольника совпадает с его центром симметрии (центроидом), который мы обозначим точкой $O$.

Поворот на $180^\circ$ вокруг центра $O$ является центральной симметрией относительно этой точки. При таком преобразовании исходный треугольник $T_1$ переходит в новый треугольник $T_2$, который конгруэнтен (равен) исходному.

При центральной симметрии любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, каждая сторона треугольника $T_2$ будет параллельна одной из сторон треугольника $T_1$. Если вершины $T_1$ это $A, B, C$, а вершины $T_2$ это $A', B', C'$, то сторона $A'B'$ параллельна стороне $AB$, $B'C'$ параллельна $BC$, и $C'A'$ параллельна $CA$.

Фигура, образованная двумя такими наложенными друг на друга треугольниками, представляет собой гексаграмму (звезду Давида). Общей частью (пересечением) этих двух треугольников является центральный многоугольник этой гексаграммы.

Поскольку стороны треугольника $T_2$ параллельны сторонам треугольника $T_1$, то при пересечении они отсекают от углов треугольника $T_1$ три маленьких треугольника. Каждый из этих маленьких треугольников подобен исходному, а значит, также является равносторонним.

Фигура, которая остается от треугольника $T_1$ после отсечения трех этих маленьких угловых треугольников, и является их общей частью. Эта фигура — шестиугольник. Докажем, что этот шестиугольник — правильный.

Пусть сторона исходного треугольника $T_1$ равна $a$. Найдем сторону маленьких отсекаемых треугольников. Медианы правильного треугольника пересекаются в точке $O$ и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$. Пусть $M$ — середина $AB$. Длина медианы $CM$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Центр $O$ лежит на $CM$, причем $CO = \frac{2}{3}h$ и $OM = \frac{1}{3}h$.

При повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ точка $M$ переходит в точку $M'$, симметричную $M$ относительно $O$. Точка $M'$ будет лежать на отрезке $CO$, так как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$, а вектор $\vec{OM}$ противоположен вектору $\vec{OC}$. Расстояние $OM'$ будет равно $OM = \frac{1}{3}h$. Сторона повернутого треугольника $T_2$, параллельная $AB$, пройдет через эту точку $M'$.

Эта сторона отсекает от вершины $C$ треугольника $T_1$ маленький равносторонний треугольник. Высота этого маленького треугольника равна расстоянию от $C$ до точки $M'$, то есть $h_{малый} = CO - OM' = \frac{2}{3}h - \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}h$.

Отношение высоты малого треугольника к высоте большого равно $\frac{h_{малый}}{h} = \frac{1/3 h}{h} = \frac{1}{3}$. Так как треугольники подобны, отношение их сторон также равно $1/3$. Значит, сторона каждого из трех отсекаемых треугольников равна $a/3$.

Теперь рассмотрим стороны получившегося шестиугольника. Три его стороны являются средними частями сторон исходного треугольника $T_1$. Длина каждой из них равна $a - a/3 - a/3 = a/3$. Остальные три стороны шестиугольника являются сторонами отсеченных треугольников, и их длина также равна $a/3$. Таким образом, все шесть сторон шестиугольника равны.

Углы шестиугольника образованы пересечением сторон треугольников $T_1$ и $T_2$. Так как стороны треугольников попарно параллельны, а углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, то все внутренние углы получившегося шестиугольника будут равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Шестиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, является правильным шестиугольником.

Ответ: Общей частью полученного и исходного треугольников является правильный шестиугольник.

38. Правильный пятиугольник повернули на угол $36^\circ$ вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного пятиугольника?

Пусть $P_1$ — это исходный правильный пятиугольник, а $O$ — центр его описанной окружности. Центральный угол правильного пятиугольника, который соответствует одной его стороне, вычисляется как $360°$, деленное на количество сторон. Для пятиугольника этот угол равен $ \alpha = \frac{360°}{5} = 72° $. Это угол, на который нужно повернуть пятиугольник вокруг центра, чтобы он совпал сам с собой (вершины при этом перейдут в соседние).

Пятиугольник $P_1$ поворачивают на угол $ \beta = 36° $. Обозначим полученный пятиугольник как $P_2$. Угол поворота $ \beta $ составляет ровно половину центрального угла $ \alpha $: $ \beta = 36° = \frac{72°}{2} $. Это означает, что каждая вершина повернутого пятиугольника $P_2$ будет расположена точно посередине дуги, соединяющей две соседние вершины исходного пятиугольника $P_1$. В результате стороны повернутого пятиугольника $P_2$ будут пересекать стороны исходного пятиугольника $P_1$.

Фигура, являющаяся общей частью двух пятиугольников, — это их пересечение $ F = P_1 \cap P_2 $. Поскольку оба пятиугольника являются выпуклыми фигурами, их пересечение также будет выпуклым многоугольником. Вершины этого нового многоугольника образуются в точках пересечения сторон $P_1$ и $P_2$.

Каждая из пяти сторон исходного пятиугольника $P_1$ пересекается двумя сторонами повернутого пятиугольника $P_2$. Аналогично, каждая сторона $P_2$ пересекается двумя сторонами $P_1$. В результате образуется 10 точек пересечения, которые и станут вершинами искомой фигуры. Таким образом, общая часть является десятиугольником.

Чтобы определить, является ли этот десятиугольник правильным, рассмотрим его симметрию. Проверим, что произойдет с фигурой пересечения $F$, если мы повернем ее на тот же угол $36°$ вокруг центра $O$. Обозначим оператор поворота на $36°$ как $R_{36}$.
$ R_{36}(F) = R_{36}(P_1 \cap P_2) = R_{36}(P_1) \cap R_{36}(P_2) $.
По условию, поворот $P_1$ на $36°$ дает $P_2$, то есть $R_{36}(P_1) = P_2$.
Применение поворота $R_{36}$ к $P_2$ равносильно повороту исходного пятиугольника $P_1$ на угол $36° + 36° = 72°$. То есть $R_{36}(P_2) = R_{72}(P_1)$.
Поскольку $72°$ — это центральный угол правильного пятиугольника, поворот на этот угол является для него операцией симметрии, то есть он переводит пятиугольник в себя: $R_{72}(P_1) = P_1$.
Подставив результаты обратно, получаем: $ R_{36}(F) = P_2 \cap P_1 = F $.
Это означает, что фигура пересечения $F$ совпадает сама с собой при повороте на $36°$. Многоугольник, обладающий таким свойством, является правильным десятиугольником, так как его центральный угол равен $ \frac{360°}{10} = 36° $.

Ответ: Общей частью полученного и исходного пятиугольников является правильный десятиугольник.

39. Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей:

а) параллелограмма, отличного от ромба;

б) ромба, отличного от квадрата;

в) прямоугольника, отличного от квадрата;

г) квадрата?

Центр симметрии n-го порядка — это точка, при повороте вокруг которой на угол $360^{\circ}/n$ фигура совмещается сама с собой. Точка пересечения диагоналей является центром вращательной симметрии для всех рассматриваемых фигур. Порядок симметрии $n$ — это количество положений, которые фигура занимает в процессе одного полного оборота вокруг центра, совмещаясь сама с собой.

а) параллелограмма, отличного от ромба

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. При повороте на $180^{\circ}$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную, и параллелограмм совмещается сам с собой. Так как у такого параллелограмма смежные стороны и углы не равны, повороты на другие углы (например, $90^{\circ}$) не приведут к самосовмещению. Минимальный угол поворота, при котором фигура совпадает сама с собой, равен $180^{\circ}$. Порядок симметрии $n$ находится по формуле $n = 360^{\circ} / 180^{\circ} = 2$.
Ответ: 2.

б) ромба, отличного от квадрата

Точка пересечения диагоналей ромба является его центром симметрии. Как и у любого параллелограмма, при повороте на $180^{\circ}$ вокруг этой точки ромб совмещается сам с собой. У ромба, не являющегося квадратом, диагонали имеют разную длину. Поэтому при повороте на $90^{\circ}$ фигура не совместится сама с собой (длинная диагональ заняла бы место короткой и наоборот). Таким образом, минимальный угол поворота составляет $180^{\circ}$. Порядок симметрии равен $n = 360^{\circ} / 180^{\circ} = 2$.
Ответ: 2.

в) прямоугольника, отличного от квадрата

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. При повороте на $180^{\circ}$ вокруг этой точки прямоугольник совмещается сам с собой. У прямоугольника, не являющегося квадратом, смежные стороны имеют разную длину. Поэтому при повороте на $90^{\circ}$ фигура не совместится сама с собой (длинная сторона заняла бы место короткой и наоборот). Следовательно, минимальный угол поворота равен $180^{\circ}$. Порядок симметрии равен $n = 360^{\circ} / 180^{\circ} = 2$.
Ответ: 2.

г) квадрата

Квадрат является правильным четырехугольником. У него все стороны и углы равны, а диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Точка пересечения диагоналей является его центром симметрии. Квадрат совмещается сам с собой при поворотах на $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ вокруг своего центра. Минимальный угол поворота, при котором фигура совпадает сама с собой, равен $90^{\circ}$. Порядок симметрии равен $n = 360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$.
Ответ: 4.