Номер 25, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Имеет ли центр симметрии:

а) луч;

б) пара пересекающихся прямых?

а)Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно точки $O$, также принадлежит этой фигуре. Это эквивалентно тому, что поворот фигуры на $180^\circ$ вокруг центра симметрии отображает фигуру на саму себя.

Рассмотрим луч. Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Он имеет начальную точку и бесконечно простирается в одном направлении.

Допустим, у луча существует центр симметрии $C$.

1. Если предположить, что центр симметрии $C$ совпадает с началом луча, точкой $O$, то для любой точки $A$ на луче, отличной от $O$, симметричная ей точка $A'$ относительно $O$ будет лежать на той же прямой, но по другую сторону от $O$. Эта точка $A'$ не принадлежит лучу. Значит, начало луча не является его центром симметрии.

2. Если предположить, что центр симметрии $C$ — это другая точка на луче, не совпадающая с его началом $O$. Тогда возьмем точку $P$, принадлежащую лучу и находящуюся на таком большом расстоянии от начала, что точка $C$ лежит между $O$ и $P$. Симметричная точке $P$ относительно $C$ точка $P'$ будет лежать на той же прямой, но с другой стороны от $C$. Если выбрать точку $P$ достаточно далеко от $C$, то точка $P'$ окажется за пределами луча (по другую сторону от его начала $O$). Следовательно, ни одна точка на луче не может быть его центром симметрии.

3. Если точка $C$ не лежит на прямой, содержащей луч, то для любой точки $A$ на луче симметричная ей точка $A'$ относительно $C$ не будет лежать на этой прямой, а значит, не будет принадлежать лучу.

Таким образом, у луча нет центра симметрии.

Ответ: нет.

б)Рассмотрим пару пересекающихся прямых. Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$.

Проверим, является ли точка пересечения $O$ центром симметрии для этой фигуры (которая представляет собой объединение двух прямых).

Возьмем произвольную точку $A$, принадлежащую фигуре.

1. Если точка $A$ лежит на прямой $l_1$, то точка $A'$, симметричная ей относительно точки $O$ (которая также лежит на $l_1$), будет также лежать на прямой $l_1$. Следовательно, $A'$ принадлежит фигуре.

2. Если точка $A$ лежит на прямой $l_2$, то точка $A'$, симметричная ей относительно точки $O$ (которая также лежит на $l_2$), будет также лежать на прямой $l_2$. Следовательно, $A'$ принадлежит фигуре.

3. Если точка $A$ совпадает с точкой $O$, то симметричная ей точка есть сама точка $O$, которая принадлежит фигуре.

Поскольку для любой точки фигуры симметричная ей относительно точки $O$ точка также принадлежит фигуре, точка пересечения $O$ является центром симметрии. Любая другая точка не может быть центром симметрии, так как, например, при симметрии относительно точки, не лежащей на одной из прямых, точка с этой прямой перейдет в точку, не лежащую на исходной фигуре.

Ответ: да.