Номер 21, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Существуют ли отрезки, которые при центральной симметрии переходят в себя?

Да, такие отрезки существуют. Разберем, при каком условии отрезок при центральной симметрии переходит сам в себя.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Сам центр симметрии $O$ при этом преобразовании остается неподвижным.

Пусть у нас есть отрезок $AB$. При центральной симметрии относительно точки $O$ его концы, точки $A$ и $B$, перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно. Весь отрезок $AB$ при этом перейдет в отрезок $A'B'$.

Чтобы отрезок $AB$ перешел сам в себя, необходимо, чтобы полученный отрезок $A'B'$ совпал с исходным отрезком $AB$. Это означает, что множество точек, составляющих отрезок $A'B'$, должно быть тем же самым, что и множество точек отрезка $AB$. Для этого необходимо, чтобы концы отрезков совпадали, то есть, чтобы пара точек $\{A', B'\}$ была той же, что и пара $\{A, B\}$.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Образ точки $A$ совпадает с $A$ ($A'=A$), а образ точки $B$ совпадает с $B$ ($B'=B$).
Точка может перейти в саму себя при центральной симметрии, только если она и является центром симметрии. То есть $A=O$ и $B=O$. Это означает, что $A=B$, и отрезок вырождается в одну точку. Такой вырожденный отрезок (точка) действительно переходит в себя, если центр симметрии совпадает с этой точкой.

2. Образ точки $A$ совпадает с $B$ ($A'=B$), а образ точки $B$ совпадает с $A$ ($B'=A$).
По определению центральной симметрии, если $A'=B$, это означает, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $AB$. Аналогично, из условия $B'=A$ следует, что $O$ является серединой отрезка $BA$, что является тем же самым условием.

Таким образом, если в качестве центра симметрии выбрать середину отрезка $AB$, то конец $A$ перейдет в конец $B$, конец $B$ — в конец $A$, и весь отрезок $AB$ перейдет сам в себя. Каждая точка на одной половине отрезка (например, от $A$ до $O$) перейдет в симметричную ей точку на другой половине отрезка (от $O$ до $B$).

Следовательно, любой отрезок, для которого центр симметрии является его серединой, при такой симметрии переходит в себя.
Ответ: Да, существуют. Любой отрезок переходит в себя при центральной симметрии, если центр симметрии совпадает с серединой этого отрезка.