Номер 19, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В каком случае прямая при осевой симметрии переходит в параллельную ей прямую?

Осевая симметрия относительно прямой $l$ (оси симметрии) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Если точка $M$ лежит на оси $l$, она переходит в саму себя. Образом прямой при осевой симметрии является прямая. Чтобы определить, в каком случае прямая $a$ переходит в параллельную ей прямую $a'$, рассмотрим все возможные варианты взаимного расположения прямой $a$ и оси симметрии $l$.

Случай 1: Прямая $a$ параллельна оси симметрии $l$ ($a \parallel l$).

Возьмём на прямой $a$ две различные точки $A$ и $B$. Их образами при симметрии относительно $l$ будут точки $A'$ и $B'$. Прямая $a'$, проходящая через точки $A'$ и $B'$, является образом прямой $a$. По определению осевой симметрии, отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны оси $l$. Поскольку $a \parallel l$, то отрезки $AA'$ и $BB'$ также перпендикулярны прямой $a$. Расстояние от любой точки прямой $a$ до оси $l$ одинаково, поэтому $|AA'| = |BB'|$. В четырёхугольнике $ABB'A'$ противоположные стороны $AA'$ и $BB'$ параллельны (как перпендикуляры к одной прямой $l$) и равны. Следовательно, $ABB'A'$ — параллелограмм. Более того, так как углы при вершинах $A$ и $B$ прямые (поскольку $AA' \perp a$ и $BB' \perp a$), этот параллелограмм является прямоугольником. Из этого следует, что сторона $A'B'$ параллельна стороне $AB$. Таким образом, прямая $a'$ (содержащая $A'B'$) параллельна прямой $a$ (содержащей $AB$).Если прямая $a$ совпадает с осью $l$, то каждая её точка переходит в себя, и прямая $a$ переходит в себя. Поскольку любая прямая считается параллельной самой себе, этот случай также удовлетворяет условию.

Случай 2: Прямая $a$ перпендикулярна оси симметрии $l$ ($a \perp l$).

Пусть прямая $a$ пересекает ось $l$ в точке $O$. Точка $O$, как лежащая на оси симметрии, переходит в саму себя. Возьмём любую другую точку $M$ на прямой $a$. Её образ $M'$ должен лежать на прямой, проходящей через $M$ и перпендикулярной оси $l$. Но этой прямой является сама прямая $a$, так как по условию $a \perp l$. Таким образом, образ любой точки прямой $a$ также лежит на прямой $a$. Это означает, что вся прямая $a$ переходит в саму себя ($a' = a$). Так как прямая параллельна самой себе, этот случай тоже является решением.

Случай 3: Прямая $a$ пересекает ось $l$, но не перпендикулярна ей.

Пусть $O$ — точка пересечения прямых $a$ и $l$. Точка $O$ является неподвижной, то есть переходит в саму себя. Это значит, что образ прямой $a$, прямая $a'$, также проходит через точку $O$. Если бы прямые $a$ и $a'$ были параллельны, то, имея общую точку, они должны были бы совпадать. Однако прямая $a$ в данном случае не совпадает со своим образом $a'$. Чтобы это показать, возьмем любую точку $M$ на прямой $a$, отличную от $O$. Отрезок $MM'$ должен быть перпендикулярен оси $l$. Если бы точка $M'$ лежала на прямой $a$, то прямые $a$ и $MM'$ пересекались бы в точке $M$. Но это невозможно, так как угол между $a$ и $l$ не является прямым, а угол между $MM'$ и $l$ — прямой. Следовательно, $M'$ не лежит на $a$, и прямые $a$ и $a'$ не совпадают. Таким образом, $a$ и $a'$ — это две разные прямые, пересекающиеся в точке $O$, и они не могут быть параллельны.

Таким образом, проанализировав все возможные случаи, можно заключить, что прямая при осевой симметрии переходит в параллельную ей прямую тогда и только тогда, когда она либо параллельна, либо перпендикулярна оси симметрии.

Ответ: Прямая при осевой симметрии переходит в параллельную ей прямую, если она параллельна оси симметрии или перпендикулярна оси симметрии.