Номер 22, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A'$, симметричную ей относительно прямой $l$. Прямая называется инвариантной относительно преобразования (переходит в себя), если образ любой её точки при этом преобразовании также принадлежит этой прямой.

Рассмотрим, какие прямые $m$ переходят в себя при симметрии относительно оси $l$.

Случай 1: Прямая $m$ совпадает с осью симметрии $l$

Если прямая $m$ и есть ось симметрии ($m=l$), то каждая точка, принадлежащая этой прямой, по определению осевой симметрии, переходит сама в себя. Следовательно, вся прямая $m$ как множество точек отображается на себя. Это первый тип прямых, которые переходят в себя.

Случай 2: Прямая $m$ перпендикулярна оси симметрии $l$

Пусть прямая $m$ перпендикулярна оси $l$ ($m \perp l$) и пересекает её в точке $O$.
1. Точка пересечения $O$ лежит на оси симметрии $l$, поэтому при симметрии она переходит сама в себя.
2. Возьмем любую другую точку $A$ на прямой $m$. Чтобы найти её образ $A'$, нужно из точки $A$ опустить перпендикуляр на ось $l$ и отложить на его продолжении отрезок, равный расстоянию от $A$ до оси. Но прямая $m$ уже является перпендикуляром к оси $l$. Значит, симметричная точка $A'$ также будет лежать на прямой $m$, но по другую сторону от оси $l$.
Таким образом, любая точка прямой $m$ отображается на точку, также лежащую на прямой $m$. Это означает, что вся прямая $m$ переходит в себя.

Прочие случаи

Если прямая $m$ пересекает ось $l$ под углом, отличным от $90^\circ$, то её образом будет прямая $m'$, пересекающая ось $l$ в той же точке, но симметрично отраженная относительно оси $l$. Прямые $m$ и $m'$ не будут совпадать. Если прямая $m$ параллельна оси $l$ (и не совпадает с ней), то её образом будет другая прямая $m'$, также параллельная $l$ и находящаяся на том же расстоянии от неё, но с другой стороны. В этих случаях прямая не переходит в себя.

Ответ: При осевой симметрии в себя переходят два типа прямых: сама ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная оси симметрии.