Номер 29, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Постройте отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно центра $O$, если:

а) $O$ принадлежит прямой $AB$;

б) $O$ не принадлежит прямой $AB$.

а) O принадлежит прямой AB

Построение отрезка $A'B'$, симметричного отрезку $AB$ относительно центра $O$, когда точка $O$ лежит на прямой $AB$, выполняется в несколько шагов. Для этого нам понадобится линейка и циркуль.

1. Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра $O$, нужно провести луч из точки $A$ через точку $O$. Так как все три точки $A$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой, этот луч будет частью этой прямой.

2. С помощью циркуля измеряем расстояние $AO$.

3. На луче $AO$, с другой стороны от точки $O$, откладываем отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $AO$. В результате точка $O$ становится серединой отрезка $AA'$, и выполняется равенство $OA = OA'$.

4. Аналогичные действия повторяем для точки $B$. Проводим луч $BO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $BO$. Таким образом, точка $O$ будет серединой отрезка $BB'$, и будет выполняться равенство $OB = OB'$.

5. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Так как все точки ($A, B, O, A', B'$) лежат на одной прямой, полученный отрезок $A'B'$ также будет лежать на этой прямой.

Ответ: Отрезок $A'B'$, полученный в результате вышеописанных действий, является искомым отрезком, симметричным отрезку $AB$ относительно центра $O$, лежащего на прямой $AB$.

б) O не принадлежит прямой AB

Построение отрезка $A'B'$, симметричного отрезку $AB$ относительно центра $O$, когда точка $O$ не лежит на прямой $AB$, выполняется следующим образом:

1. Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно центра $O$, соединяем точку $A$ с центром $O$ с помощью прямой линии (проводим отрезок $AO$).

2. Продлеваем отрезок $AO$ за точку $O$.

3. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $AO$. Затем, установив острие циркуля в точку $O$, на продолжении прямой $AO$ отмечаем точку $A'$ так, чтобы расстояние $OA'$ было равно расстоянию $AO$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $AA'$, и выполняется равенство $OA = OA'$.

4. Повторяем те же шаги для точки $B$. Соединяем точку $B$ с центром $O$ и продлеваем полученный отрезок $BO$ за точку $O$. Откладываем на этой прямой отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $BO$. Таким образом, $O$ - середина отрезка $BB'$, и $OB = OB'$.

5. Соединяем полученные точки $A'$ и $B'$ отрезком. Этот отрезок $A'B'$ и будет искомым.

В результате такого построения мы получаем отрезок $A'B'$, который равен по длине исходному отрезку $AB$ и параллелен ему ($A'B' = AB$, $A'B' \parallel AB$).

Ответ: Отрезок $A'B'$, построенный по указанным шагам, является симметричным отрезку $AB$ относительно центра $O$, не принадлежащего прямой $AB$.