Номер 30, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Постройте прямую, симметричную данной прямой относительно точки, не принадлежащей этой прямой.

Для построения прямой, симметричной данной прямой относительно точки, не принадлежащей этой прямой, необходимо выполнить следующие шаги. Этот процесс основан на свойстве центральной симметрии, при которой образом прямой является прямая, параллельная данной.

Алгоритм построения

Пусть дана прямая $a$ и точка $O$, не лежащая на прямой $a$.

1. На исходной прямой $a$ выберем две произвольные различные точки. Назовем их $A$ и $B$. Для построения прямой достаточно двух точек.

2. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра симметрии $O$. Для этого проведем луч из точки $A$ через точку $O$. С помощью циркуля измерим расстояние $AO$ и отложим его на луче $AO$ за точкой $O$. Полученная точка $A'$ будет симметрична точке $A$ относительно $O$, при этом $AO = OA'$.

3. Аналогично построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно центра $O$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$. Полученная точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно $O$, при этом $BO = OB'$.

4. Соединим точки $A'$ и $B'$ прямой. Полученная прямая $a'$ является искомой прямой, симметричной прямой $a$ относительно точки $O$.

Обоснование

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$.

• $AO = OA'$ по построению.
• $BO = OB'$ по построению.
• $\angle AOB = \angle A'OB'$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A'OB'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle OAB = \angle OA'B'$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $a$ (которая проходит через точки $A$ и $B$) и $a'$ (которая проходит через точки $A'$ и $B'$) секущей $AA'$.

Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые $a$ и $a'$ параллельны, то есть $a \parallel a'$. Таким образом, мы построили прямую, все точки которой симметричны точкам исходной прямой относительно центра $O$.

Ответ: Чтобы построить прямую, симметричную данной прямой $a$ относительно точки $O$, нужно выбрать на прямой $a$ две произвольные точки $A$ и $B$, построить их симметричные образы $A'$ и $B'$ относительно точки $O$, а затем провести прямую через точки $A'$ и $B'$. Полученная прямая будет параллельна исходной.