Номер 34, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

34. На какой угол нужно повернуть прямую, чтобы полученная прямая была:

а) перпендикулярна исходной;

б) параллельна исходной.

а) Чтобы полученная прямая стала перпендикулярна исходной, ее необходимо повернуть на угол, равный $90^\circ$. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, который составляет $90^\circ$.

Рассмотрим это с точки зрения угловых коэффициентов. Пусть исходная прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, тогда ее угловой коэффициент равен $k_1 = \tan(\alpha)$. При повороте на угол $\beta$ новая прямая образует угол $\alpha+\beta$, и ее угловой коэффициент равен $k_2 = \tan(\alpha+\beta)$. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) выглядит как $k_1 \cdot k_2 = -1$. Подставляя выражения для коэффициентов, получаем: $\tan(\alpha) \cdot \tan(\alpha+\beta) = -1$. Отсюда следует, что $\tan(\alpha+\beta) = -\frac{1}{\tan(\alpha)} = -\cot(\alpha)$. Используя формулу приведения, мы знаем, что $\tan(\alpha+90^\circ) = -\cot(\alpha)$, следовательно, наименьший положительный угол поворота $\beta$ равен $90^\circ$.

Стоит отметить, что прямая не имеет направления, поэтому поворот на $180^\circ$ переводит прямую в себя. Таким образом, любой угол вида $90^\circ + 180^\circ \cdot n$, где $n$ — любое целое число, также даст перпендикулярную прямую. Например, угол $270^\circ$ ($n=1$). Обычно в качестве ответа указывают наименьший положительный угол. Ответ: на угол $90^\circ$.

б) Чтобы полученная прямая стала параллельна исходной, она должна иметь тот же угол наклона. Это означает, что ее нужно повернуть на угол, кратный $180^\circ$.

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2$. Используя обозначения из пункта а), имеем: $\tan(\alpha) = \tan(\alpha+\beta)$. Поскольку функция тангенса имеет период $180^\circ$, это равенство выполняется, когда $\beta = 180^\circ \cdot n$ для любого целого числа $n$.

Если $n=0$, то угол поворота равен $0^\circ$, и прямая остается на месте. Совпадающие прямые считаются частным случаем параллельных. Если требуется получить новую прямую, то нужно взять ненулевое значение $n$. Наименьший по модулю ненулевой угол поворота получается при $n=1$ (или $n=-1$) и равен $180^\circ$. При повороте на $180^\circ$ прямая переходит в прямую, параллельную исходной (она совпадет с исходной, если центр вращения лежит на прямой, и будет параллельна, но не совпадать, если центр вращения лежит вне прямой). Ответ: на угол $180^\circ$.