Номер 41, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Докажите, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $r$. По определению, окружность — это множество всех точек $X$ плоскости, расстояние от которых до центра $O$ равно радиусу $r$. Математически это можно записать так: $\omega = \{X \mid OX = r\}$.

Рассмотрим произвольное движение (изометрию) $f$. Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. То есть, для любых точек $A$ и $B$ и их образов $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ выполняется равенство $AB = A'B'$.

Нам нужно доказать, что образом окружности $\omega$ при движении $f$ является окружность $\omega'$ с тем же радиусом $r$.

Пусть $O' = f(O)$ — образ центра $O$ при движении $f$.

Возьмем любую точку $X$ на исходной окружности $\omega$. По определению окружности, $OX = r$. Пусть $X' = f(X)$ — образ точки $X$ при движении $f$. Так как $f$ — движение, оно сохраняет расстояние между точками $O$ и $X$. Следовательно, расстояние между их образами $O'$ и $X'$ будет таким же: $O'X' = OX$.

Поскольку $OX = r$, то и $O'X' = r$. Это означает, что любая точка $X'$, являющаяся образом точки $X$ с исходной окружности, находится на расстоянии $r$ от точки $O'$. Таким образом, все точки образа лежат на окружности $\omega'$ с центром в $O'$ и радиусом $r$.

Теперь докажем, что любая точка на окружности $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $r$ является образом некоторой точки с окружности $\omega$.

Возьмем произвольную точку $Y'$ на окружности $\omega'$. По определению, $O'Y' = r$. Поскольку движение $f$ является обратимым преобразованием и обратное к нему преобразование $f^{-1}$ также является движением, мы можем найти прообраз точки $Y'$, то есть точку $Y = f^{-1}(Y')$.

Так как $f$ является движением, оно сохраняет расстояние между точками $Y$ и $O$. Расстояние между $Y$ и $O$ равно расстоянию между их образами $f(Y)=Y'$ и $f(O)=O'$. То есть, $OY = O'Y'$.

Так как мы выбрали точку $Y'$ на окружности $\omega'$, то $O'Y' = r$. Следовательно, $OY = r$.

По определению исходной окружности $\omega$, если расстояние от точки $Y$ до центра $O$ равно $r$, то точка $Y$ лежит на окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что:
1. Каждая точка образа исходной окружности лежит на окружности $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $r$.
2. Каждая точка окружности $\omega'$ является образом некоторой точки исходной окружности $\omega$.

Следовательно, движение $f$ переводит окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $r$ в окружность $\omega'$ с центром $O'$ и тем же радиусом $r$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Движение (изометрия) по определению сохраняет расстояния. Окружность определяется как множество точек, равноудаленных от центра. Пусть есть окружность с центром $O$ и радиусом $r$. При движении $f$ центр $O$ перейдет в точку $O'$, а любая точка $X$ на окружности — в точку $X'$. Так как движение сохраняет расстояния, расстояние $O'X'$ будет равно расстоянию $OX$. Поскольку для любой точки $X$ на исходной окружности $OX = r$, то для любой точки $X'$ на образе окружности будет выполняться $O'X' = r$. Это означает, что образ является окружностью с центром $O'$ и тем же радиусом $r$.