Номер 42, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Пусть движение переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$. Докажите, что при этом высоты, медианы и биссектрисы треугольника $ABC$ перейдут в высоты, медианы и биссектрисы треугольника $A'B'C'$ соответственно.

Движение (изометрия) — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Ключевыми свойствами движения, которые мы будем использовать, являются:

• Сохранение длин отрезков.
• Сохранение мер углов.
• Сохранение коллинеарности точек (точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой).
• Прямая переходит в прямую, отрезок — в отрезок, луч — в луч.

Пусть дано движение $f$, которое переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$, где $A' = f(A)$, $B' = f(B)$ и $C' = f(C)$.

Высоты

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$. По определению высоты, $AH \perp BC$, то есть угол между прямой $AH$ и прямой $BC$ составляет $90^\circ$. Точка $H$ лежит на прямой $BC$.

При движении $f$ прямая $AH$ переходит в прямую $A'H'$, а прямая $BC$ — в прямую $B'C'$, где $H' = f(H)$.

Поскольку движение сохраняет углы, угол между образами прямых $A'H'$ и $B'C'$ также будет равен $90^\circ$. Следовательно, $A'H' \perp B'C'$.

Так как точка $H$ лежит на прямой $BC$, ее образ, точка $H'$, будет лежать на образе прямой, то есть на прямой $B'C'$.

Таким образом, отрезок $A'H'$ является перпендикуляром, опущенным из вершины $A'$ на прямую, содержащую противолежащую сторону $B'C'$. Это означает, что $A'H'$ является высотой треугольника $A'B'C'$.

Ответ: Доказано, что движение переводит высоту треугольника $ABC$ в соответствующую высоту треугольника $A'B'C'$.

Медианы

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BM = MC$.

При движении $f$ отрезок $BC$ переходит в отрезок $B'C'$, а точка $M$ — в точку $M' = f(M)$.

Поскольку движение сохраняет расстояния, $B'M' = BM$ и $M'C' = MC$. Так как $BM = MC$, то и $B'M' = M'C'$.

Так как точка $M$ лежит на отрезке $BC$, ее образ $M'$ будет лежать на отрезке $B'C'$.

Из того, что $M'$ лежит на $B'C'$ и $B'M' = M'C'$, следует, что $M'$ — середина стороны $B'C'$.

Отрезок $AM$ при движении $f$ переходит в отрезок $A'M'$. Поскольку $A'M'$ соединяет вершину $A'$ с серединой противолежащей стороны $B'C'$, он является медианой треугольника $A'B'C'$.

Ответ: Доказано, что движение переводит медиану треугольника $ABC$ в соответствующую медиану треугольника $A'B'C'$.

Биссектрисы

Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$. По определению, луч $AL$ делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL$.

При движении $f$ угол $BAL$ переходит в угол $B'A'L'$, а угол $CAL$ — в угол $C'A'L'$, где $L' = f(L)$.

Поскольку движение сохраняет величины углов, $\angle B'A'L' = \angle BAL$ и $\angle C'A'L' = \angle CAL$.

Так как $\angle BAL = \angle CAL$, то и $\angle B'A'L' = \angle C'A'L'$. Это означает, что луч $A'L'$ делит угол $B'A'C'$ пополам.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$, следовательно, ее образ $L'$ лежит на стороне $B'C'$.

Таким образом, отрезок $A'L'$ выходит из вершины $A'$, делит угол $B'A'C'$ на два равных угла и заканчивается на противолежащей стороне $B'C'$. Следовательно, $A'L'$ является биссектрисой треугольника $A'B'C'$.

Ответ: Доказано, что движение переводит биссектрису треугольника $ABC$ в соответствующую биссектрису треугольника $A'B'C'$.