Номер 37, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Правильный треугольник повернули на 180° вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного треугольников?

Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник, назовем его $T_1$. Центр описанной окружности правильного треугольника совпадает с его центром симметрии (центроидом), который мы обозначим точкой $O$.

Поворот на $180^\circ$ вокруг центра $O$ является центральной симметрией относительно этой точки. При таком преобразовании исходный треугольник $T_1$ переходит в новый треугольник $T_2$, который конгруэнтен (равен) исходному.

При центральной симметрии любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, каждая сторона треугольника $T_2$ будет параллельна одной из сторон треугольника $T_1$. Если вершины $T_1$ это $A, B, C$, а вершины $T_2$ это $A', B', C'$, то сторона $A'B'$ параллельна стороне $AB$, $B'C'$ параллельна $BC$, и $C'A'$ параллельна $CA$.

Фигура, образованная двумя такими наложенными друг на друга треугольниками, представляет собой гексаграмму (звезду Давида). Общей частью (пересечением) этих двух треугольников является центральный многоугольник этой гексаграммы.

Поскольку стороны треугольника $T_2$ параллельны сторонам треугольника $T_1$, то при пересечении они отсекают от углов треугольника $T_1$ три маленьких треугольника. Каждый из этих маленьких треугольников подобен исходному, а значит, также является равносторонним.

Фигура, которая остается от треугольника $T_1$ после отсечения трех этих маленьких угловых треугольников, и является их общей частью. Эта фигура — шестиугольник. Докажем, что этот шестиугольник — правильный.

Пусть сторона исходного треугольника $T_1$ равна $a$. Найдем сторону маленьких отсекаемых треугольников. Медианы правильного треугольника пересекаются в точке $O$ и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$. Пусть $M$ — середина $AB$. Длина медианы $CM$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Центр $O$ лежит на $CM$, причем $CO = \frac{2}{3}h$ и $OM = \frac{1}{3}h$.

При повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ точка $M$ переходит в точку $M'$, симметричную $M$ относительно $O$. Точка $M'$ будет лежать на отрезке $CO$, так как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$, а вектор $\vec{OM}$ противоположен вектору $\vec{OC}$. Расстояние $OM'$ будет равно $OM = \frac{1}{3}h$. Сторона повернутого треугольника $T_2$, параллельная $AB$, пройдет через эту точку $M'$.

Эта сторона отсекает от вершины $C$ треугольника $T_1$ маленький равносторонний треугольник. Высота этого маленького треугольника равна расстоянию от $C$ до точки $M'$, то есть $h_{малый} = CO - OM' = \frac{2}{3}h - \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}h$.

Отношение высоты малого треугольника к высоте большого равно $\frac{h_{малый}}{h} = \frac{1/3 h}{h} = \frac{1}{3}$. Так как треугольники подобны, отношение их сторон также равно $1/3$. Значит, сторона каждого из трех отсекаемых треугольников равна $a/3$.

Теперь рассмотрим стороны получившегося шестиугольника. Три его стороны являются средними частями сторон исходного треугольника $T_1$. Длина каждой из них равна $a - a/3 - a/3 = a/3$. Остальные три стороны шестиугольника являются сторонами отсеченных треугольников, и их длина также равна $a/3$. Таким образом, все шесть сторон шестиугольника равны.

Углы шестиугольника образованы пересечением сторон треугольников $T_1$ и $T_2$. Так как стороны треугольников попарно параллельны, а углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, то все внутренние углы получившегося шестиугольника будут равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Шестиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, является правильным шестиугольником.

Ответ: Общей частью полученного и исходного треугольников является правильный шестиугольник.