Номер 33, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Постройте точки, в которые переходит заданная точка A при повороте вокруг заданной точки O на углы $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$.

Для решения задачи о построении точек, в которые переходит точка $A$ при повороте вокруг центра $O$ на заданный угол, мы будем использовать циркуль и линейку. Основной принцип поворота заключается в том, что расстояние от центра поворота до точки сохраняется, а угол между начальным и конечным положением радиус-вектора равен углу поворота. Это означает, что все искомые точки будут лежать на окружности с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$. Построения для каждого угла будут выполняться последовательно.

Поворот на 30°

Построение угла в $30^\circ$ основано на построении угла в $60^\circ$ (угол равностороннего треугольника) и последующем делении этого угла пополам с помощью построения биссектрисы.

1. Проведем луч $OA$ и построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Обозначим эту окружность $k$.

2. Не меняя раствора циркуля (равного $R=OA$), установим его ножку в точку $A$ и проведем дугу так, чтобы она пересекла окружность $k$. Назовем точку пересечения $B$. Поскольку $OA = OB = AB = R$, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, и, следовательно, угол $\angle AOB = 60^\circ$.

3. Для деления угла $\angle AOB$ пополам построим его биссектрису. С помощью циркуля из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового произвольного радиуса внутри угла до их пересечения в точке $C$.

4. Проведем луч $OC$. Точка, в которой этот луч пересекает окружность $k$, является искомой точкой $A_1$. По построению, $OA_1 = OA$ и $\angle AOA_1 = \frac{1}{2} \angle AOB = 30^\circ$.

Ответ: Точка $A_1$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $30^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 60°

Угол в $60^\circ$ легко построить, так как он является внутренним углом равностороннего треугольника.

1. Проведем окружность $k$ с центром в $O$ и радиусом $R=OA$.

2. Установим ножку циркуля в точку $A$ и, сохранив радиус $R=OA$, проведем дугу, которая пересечет окружность $k$ в точке $A_2$.

3. Треугольник $\triangle OAA_2$ является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу окружности $k$ ($OA = OA_2 = AA_2 = R$). Следовательно, угол $\angle AOA_2 = 60^\circ$.

Ответ: Точка $A_2$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $60^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 120°

Угол в $120^\circ$ можно получить, последовательно отложив два угла по $60^\circ$, так как $120^\circ = 60^\circ + 60^\circ$.

1. Построим окружность $k$ с центром в $O$ и радиусом $R=OA$.

2. Повторим построение для угла $60^\circ$: из точки $A$ проведем дугу радиусом $R=OA$, пересекающую окружность $k$ в точке $A_2$. Мы получили угол $\angle AOA_2 = 60^\circ$.

3. Теперь, не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $A_2$ и проведем еще одну дугу, которая пересечет окружность $k$ в новой точке $A_3$.

4. Угол $\angle A_2OA_3$ также равен $60^\circ$. Итоговый угол поворота от луча $OA$ до луча $OA_3$ составляет $\angle AOA_3 = \angle AOA_2 + \angle A_2OA_3 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Точка $A_3$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $120^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 180°

Поворот на $180^\circ$ — это центральная симметрия относительно центра поворота. Искомая точка будет лежать на той же прямой, что и исходная точка и центр, но по другую сторону от центра.

1. С помощью линейки проведем прямую через точки $A$ и $O$.

2. Установим ножку циркуля в точку $O$, а грифель — в точку $A$.

3. Проведем дугу этим радиусом так, чтобы она пересекла прямую $AO$ с другой стороны от точки $O$. Точка пересечения и есть искомая точка $A_4$.

Точки $A$, $O$ и $A_4$ лежат на одной прямой, при этом $OA = OA_4$. Угол $\angle AOA_4$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$.

Ответ: Точка $A_4$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $180^\circ$ вокруг точки $O$, построена.

Поворот на 270°

Поворот на $270^\circ$ против часовой стрелки можно рассматривать как поворот на $180^\circ$ с последующим поворотом на $90^\circ$ ($270^\circ = 180^\circ + 90^\circ$), либо как поворот на $-90^\circ$ (по часовой стрелке). Мы построим его путем построения перпендикуляра.

1. Построим окружность $k$ с центром в $O$ и радиусом $R=OA$.

2. Проведем прямую через $A$ и $O$.

3. Построим прямую $l$, проходящую через $O$ и перпендикулярную прямой $AO$. Для этого можно сначала построить точку $A_4$ (поворот на $180^\circ$), как в предыдущем пункте. Затем построим серединный перпендикуляр к отрезку $AA_4$: из точек $A$ и $A_4$ как из центров проведем две пары дуг одинакового радиуса (большего, чем $OA$) так, чтобы дуги из одной пары пересекались. Прямая $l$, соединяющая точки пересечения этих дуг, пройдет через $O$ и будет перпендикулярна $AO$.

4. Прямая $l$ пересечет окружность $k$ в двух точках. Для поворота на $270^\circ$ против часовой стрелки необходимо выбрать ту точку пересечения, которая следует за точкой $A_4$ при движении по окружности против часовой стрелки от точки $A$. Обозначим эту точку $A_5$.

Угол $\angle AOA_5$, отсчитанный против часовой стрелки, равен $270^\circ$.

Ответ: Точка $A_5$, полученная в результате поворота точки $A$ на угол $270^\circ$ вокруг точки $O$, построена.