Номер 38, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Правильный пятиугольник повернули на угол $36^\circ$ вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного пятиугольника?

Пусть $P_1$ — это исходный правильный пятиугольник, а $O$ — центр его описанной окружности. Центральный угол правильного пятиугольника, который соответствует одной его стороне, вычисляется как $360°$, деленное на количество сторон. Для пятиугольника этот угол равен $ \alpha = \frac{360°}{5} = 72° $. Это угол, на который нужно повернуть пятиугольник вокруг центра, чтобы он совпал сам с собой (вершины при этом перейдут в соседние).

Пятиугольник $P_1$ поворачивают на угол $ \beta = 36° $. Обозначим полученный пятиугольник как $P_2$. Угол поворота $ \beta $ составляет ровно половину центрального угла $ \alpha $: $ \beta = 36° = \frac{72°}{2} $. Это означает, что каждая вершина повернутого пятиугольника $P_2$ будет расположена точно посередине дуги, соединяющей две соседние вершины исходного пятиугольника $P_1$. В результате стороны повернутого пятиугольника $P_2$ будут пересекать стороны исходного пятиугольника $P_1$.

Фигура, являющаяся общей частью двух пятиугольников, — это их пересечение $ F = P_1 \cap P_2 $. Поскольку оба пятиугольника являются выпуклыми фигурами, их пересечение также будет выпуклым многоугольником. Вершины этого нового многоугольника образуются в точках пересечения сторон $P_1$ и $P_2$.

Каждая из пяти сторон исходного пятиугольника $P_1$ пересекается двумя сторонами повернутого пятиугольника $P_2$. Аналогично, каждая сторона $P_2$ пересекается двумя сторонами $P_1$. В результате образуется 10 точек пересечения, которые и станут вершинами искомой фигуры. Таким образом, общая часть является десятиугольником.

Чтобы определить, является ли этот десятиугольник правильным, рассмотрим его симметрию. Проверим, что произойдет с фигурой пересечения $F$, если мы повернем ее на тот же угол $36°$ вокруг центра $O$. Обозначим оператор поворота на $36°$ как $R_{36}$.
$ R_{36}(F) = R_{36}(P_1 \cap P_2) = R_{36}(P_1) \cap R_{36}(P_2) $.
По условию, поворот $P_1$ на $36°$ дает $P_2$, то есть $R_{36}(P_1) = P_2$.
Применение поворота $R_{36}$ к $P_2$ равносильно повороту исходного пятиугольника $P_1$ на угол $36° + 36° = 72°$. То есть $R_{36}(P_2) = R_{72}(P_1)$.
Поскольку $72°$ — это центральный угол правильного пятиугольника, поворот на этот угол является для него операцией симметрии, то есть он переводит пятиугольник в себя: $R_{72}(P_1) = P_1$.
Подставив результаты обратно, получаем: $ R_{36}(F) = P_2 \cap P_1 = F $.
Это означает, что фигура пересечения $F$ совпадает сама с собой при повороте на $36°$. Многоугольник, обладающий таким свойством, является правильным десятиугольником, так как его центральный угол равен $ \frac{360°}{10} = 36° $.

Ответ: Общей частью полученного и исходного пятиугольников является правильный десятиугольник.