Номер 36, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Точка $A'$ получена из точки $A$ поворотом на угол $60^\circ$. Можно ли по этим данным однозначно определить точку $O$, вокруг которой произведен поворот?

По определению поворота точки $A$ вокруг центра $O$ на некоторый угол, образом точки $A$ является такая точка $A'$, что расстояния от центра поворота до начальной и конечной точек равны ($OA = OA'$), а угол, образованный начальной точкой, центром поворота и конечной точкой, равен углу поворота ($\angle AOA'$).

В условии задачи задан угол поворота $60^\circ$. Это означает, что для искомого центра поворота $O$ должны одновременно выполняться два условия:
1. $OA = OA'$ (точка $O$ равноудалена от $A$ и $A'$).
2. $\angle AOA' = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOA'$. Из первого условия следует, что он является равнобедренным. Из второго условия следует, что угол при вершине $O$ равен $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и их величина составляет $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Таким образом, все углы треугольника $\triangle AOA'$ равны $60^\circ$, а значит, он является равносторонним.

Следовательно, центр поворота $O$ должен образовывать с точками $A$ и $A'$ равносторонний треугольник, то есть должно выполняться равенство $OA = OA' = AA'$.

На любом отрезке, в данном случае $AA'$, можно построить два равносторонних треугольника, вершины которых будут лежать по разные стороны от прямой, содержащей этот отрезок. Обозначим эти две возможные вершины как $O_1$ и $O_2$.

Обе точки, $O_1$ и $O_2$, удовлетворяют условиям. Поворот точки $A$ вокруг центра $O_1$ на угол $60^\circ$ в одном направлении (например, против часовой стрелки) переведет ее в точку $A'$. В то же время, поворот точки $A$ вокруг центра $O_2$ на угол $60^\circ$ в противоположном направлении (по часовой стрелке) также переведет ее в точку $A'$.

Поскольку в условии не задано направление поворота (по или против часовой стрелки), то существуют две разные точки, которые могут являться центром поворота. Поэтому однозначно определить положение точки $O$ невозможно.

Ответ: Нет, однозначно определить точку $O$ нельзя, так как существует две точки, которые могут служить центром поворота, удовлетворяющего заданным условиям.