Номер 31, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии и не имеющих оси симметрии.

Фигура имеет центр симметрии (является центрально-симметричной), если существует такая точка O (центр симметрии), что поворот фигуры вокруг этой точки на $180^\circ$ переводит фигуру в себя. Фигура имеет ось симметрии (является осесимметричной), если существует такая прямая l (ось симметрии), что отражение относительно этой прямой переводит фигуру в себя. Ниже приведены примеры фигур, которые имеют центр симметрии, но не имеют осей симметрии.

Параллелограмм

Параллелограмм, не являющийся частным случаем (то есть не прямоугольник и не ромб), является классическим примером. Точка пересечения его диагоналей служит центром симметрии. Если мы повернем параллелограмм на $180^\circ$ вокруг этой точки, каждая вершина перейдет в противоположную, и фигура полностью совпадет сама с собой. Однако у такого общего параллелограмма нет ни одной оси симметрии. Отражение относительно диагоналей или линий, соединяющих середины противоположных сторон, не приведет к совмещению фигуры с ее первоначальным положением.

Ответ: Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом.

Фигура в форме буквы Z или S

Геометрическая фигура, повторяющая форму латинской буквы Z или S, обладает центром симметрии. Для буквы Z центр симметрии находится в середине ее наклонного отрезка, а для буквы S — в ее геометрическом центре. Поворот на $180^\circ$ вокруг этого центра переводит фигуру в саму себя. В то же время, очевидно, что невозможно провести такую прямую, при перегибании по которой фигура совместилась бы сама с собой. Таким образом, у этих фигур нет осей симметрии.

Ответ: Фигура, имеющая форму буквы Z или S.

Объединение двух конгруэнтных асимметричных фигур

Можно построить бесконечное множество таких фигур, используя общий принцип. Возьмем любую фигуру F, у которой нет ни центра, ни оси симметрии (например, неравносторонний треугольник или произвольная «клякса»). Выберем любую точку O. Построим фигуру F', симметричную фигуре F относительно точки O. Объединение этих двух фигур, F и F', по определению будет иметь центр симметрии в точке O. При этом, так как исходная фигура F была полностью асимметрична, у составной фигуры в общем случае не будет ни одной оси симметрии.

Ответ: Фигура, составленная из двух равных неравносторонних треугольников, симметричных друг другу относительно точки, не принадлежащей им.