Номер 26, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Имеет ли центр симметрии:

а) правильный треугольник;

б) равнобедренный треугольник, не являющийся правильным;

в) прямоугольник;

г) параллелограмм, не являющийся ромбом;

д) равнобедренная трапеция;

е) окружность?

а) правильный треугольникФигура имеет центр симметрии, если существует такая точка $O$ (центр симметрии), что при повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки фигура переходит сама в себя. Для любого многоугольника, обладающего центром симметрии, его вершины должны быть симметричны относительно этого центра. Это значит, что вершины должны разбиваться на пары симметричных точек. У треугольника 3 вершины (нечетное число), поэтому невозможно разбить их на пары. Следовательно, ни один треугольник, включая правильный, не имеет центра симметрии.Ответ: нет.

б) равнобедренный треугольник, не являющийся правильнымКак и в случае с правильным треугольником, любой треугольник имеет 3 вершины. Так как 3 — нечетное число, вершины невозможно сгруппировать в пары, симметричные относительно какой-либо точки. Если бы центр симметрии существовал, то каждая вершина при повороте на $180^\circ$ должна была бы перейти в другую вершину, что невозможно для фигуры с нечетным числом вершин.Ответ: нет.

в) прямоугольникДа, прямоугольник имеет центр симметрии. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку $O$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть вершины прямоугольника — $A, B, C, D$. Тогда $O$ — середина диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что при повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершина $B$ — в вершину $D$. Соответственно, сторона $AB$ переходит в сторону $CD$, а сторона $BC$ — в сторону $DA$. Таким образом, весь прямоугольник переходит сам в себя.Ответ: да.

г) параллелограмм, не являющийся ромбомДа, любой параллелограмм имеет центр симметрии. Свойством параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Эта точка пересечения и является центром симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки меняет местами противоположные вершины и противоположные стороны, отображая параллелограмм на самого себя. Условие «не являющийся ромбом» не отменяет этого свойства, так как оно присуще всем без исключения параллелограммам.Ответ: да.

д) равнобедренная трапецияНет, в общем случае равнобедренная трапеция не имеет центра симметрии. Предположим, что у трапеции есть центр симметрии $O$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ трапеция должна перейти сама в себя. При таком повороте прямые переходят в параллельные им прямые. Значит, прямая, содержащая одно основание трапеции, должна перейти в прямую, содержащую другое основание. Это возможно, но тогда и сами отрезки-основания должны перейти друг в друга. Это означает, что основания должны быть равны по длине. Трапеция с равными основаниями является параллелограммом. У обычной равнобедренной трапеции основания имеют разную длину, поэтому она не может иметь центра симметрии.Ответ: нет.

е) окружностьДа, окружность имеет центр симметрии. Ее центром симметрии является ее геометрический центр. Обозначим его $O$. По определению, все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии $R$ (радиус) от центра $O$. Пусть $A$ — любая точка на окружности. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, лежит на той же прямой, что и $A$ и $O$, на таком же расстоянии от $O$, но с другой стороны. То есть, $OA' = OA = R$. Следовательно, точка $A'$ также лежит на окружности. Так как это верно для любой точки окружности, ее центр является ее центром симметрии.Ответ: да.