Номер 23, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Что является центром симметрии отрезка?

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична самой себе. Это означает, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре. Преобразование симметрии относительно точки также называют поворотом на $180^\circ$ вокруг этой точки.

Рассмотрим отрезок, который мы можем обозначить как $AB$, где $A$ и $B$ — его концы. Найдем на этом отрезке такую точку $M$, которая является его серединой. По определению середины отрезка, она делит его на две равные части, то есть длина отрезка $AM$ равна длине отрезка $MB$ ($AM = MB$), и сама точка $M$ лежит между $A$ и $B$.

Проверим, является ли середина $M$ центром симметрии отрезка $AB$.

1. Возьмем конец отрезка — точку $A$. Точка, симметричная $A$ относительно $M$, — это точка $B$, так как $M$ является серединой отрезка $AB$. Точка $B$ принадлежит отрезку $AB$.

2. Аналогично, точка, симметричная концу $B$ относительно $M$, — это точка $A$, которая также принадлежит отрезку $AB$.

3. Возьмем любую внутреннюю точку $P$ отрезка $AB$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $M$, будет лежать на прямой, содержащей отрезок $AB$, на таком же расстоянии от $M$, что и точка $P$, но по другую сторону от $M$. Поскольку $P$ находится на отрезке $AB$, то расстояние $PM$ не превышает половины длины отрезка ($AM$ или $MB$). Следовательно, точка $P'$ также будет находиться на отрезке $AB$.

Таким образом, любая точка отрезка $AB$ при симметрии относительно его середины $M$ переходит в точку, также принадлежащую этому отрезку. Следовательно, середина отрезка и есть его центр симметрии. Никакая другая точка не обладает этим свойством, так как при симметрии относительно любой другой точки хотя бы один из концов отрезка перейдет в точку, не принадлежащую отрезку.

Ответ: Центром симметрии отрезка является его середина.