Номер 28, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Может ли фигура иметь:

а) два;

б) три;

в) бесконечно много центров симметрии?

а)Предположим, что фигура имеет ровно два различных центра симметрии, назовем их $O_1$ и $O_2$.Пусть $S_{O_1}$ и $S_{O_2}$ — преобразования центральной симметрии относительно этих точек. Если фигура $F$ имеет центры симметрии $O_1$ и $O_2$, то она инвариантна относительно преобразований $S_{O_1}$ и $S_{O_2}$. Это означает, что для любой точки $A \in F$, точки $S_{O_1}(A)$ и $S_{O_2}(A)$ также принадлежат фигуре $F$.Рассмотрим композицию (последовательное применение) этих симметрий: $S_{O_2} \circ S_{O_1} \circ S_{O_2}$. Поскольку каждое из этих преобразований отображает фигуру $F$ на себя, их композиция также будет отображать фигуру $F$ на себя.Известно, что композиция трех центральных симметрий является центральной симметрией. Центром симметрии для преобразования $S_{O_2} \circ S_{O_1} \circ S_{O_2}$ является точка $O_3 = S_{O_2}(O_1)$, то есть точка, симметричная $O_1$ относительно $O_2$. Координаты этой точки выражаются как $O_3 = 2O_2 - O_1$.Так как $O_1$ и $O_2$ — различные точки, то точка $O_3$ отлична от $O_1$ и $O_2$. Действительно, если бы $O_3 = O_1$, то $2O_2 - O_1 = O_1 \implies 2O_2 = 2O_1 \implies O_2 = O_1$, что противоречит условию. Аналогично, $O_3 \neq O_2$.Таким образом, если фигура имеет два различных центра симметрии, она обязательно имеет и третий, отличный от первых двух. Это означает, что фигура не может иметь ровно два центра симметрии.

Ответ: Нет, не может.

б)Используем логику, аналогичную пункту а). Докажем, что фигура не может иметь любое конечное число центров симметрии $N > 1$.Пусть фигура имеет конечное множество центров симметрии $C = \{O_1, O_2, \dots, O_N\}$, где $N \ge 2$.Как было показано в пункте а), если $O_i$ и $O_j$ — два центра симметрии из множества $C$, то точка $S_{O_i}(O_j) = 2O_i - O_j$ также является центром симметрии. Следовательно, эта точка должна принадлежать множеству $C$. Это означает, что множество центров $C$ замкнуто относительно операции центральной симметрии с центром в любой из его точек.Рассмотрим случай $N=3$, то есть $C = \{O_1, O_2, O_3\}$. Тогда точка $S_{O_1}(O_2) = 2O_1 - O_2$ должна принадлежать $C$. Так как $O_1 \neq O_2$, то $S_{O_1}(O_2)$ не может быть равна $O_1$ или $O_2$, значит, $S_{O_1}(O_2) = O_3$. Из этого равенства следует, что $O_1$ является серединой отрезка $O_2O_3$.Аналогично, $S_{O_2}(O_1)$ должна быть равна $O_3$, то есть $O_2$ — середина отрезка $O_1O_3$.И $S_{O_3}(O_1)$ должна быть равна $O_2$, то есть $O_3$ — середина отрезка $O_1O_2$.Получаем систему уравнений для радиус-векторов точек:$O_1 = \frac{O_2+O_3}{2}$$O_2 = \frac{O_1+O_3}{2}$$O_3 = \frac{O_1+O_2}{2}$Подставив второе и третье уравнения в первое, получим: $2O_1 = \frac{O_1+O_3}{2} + \frac{O_1+O_2}{2} = \frac{2O_1+O_2+O_3}{2}$. Отсюда $4O_1 = 2O_1+O_2+O_3$, или $2O_1 = O_2+O_3$, что является исходным первым уравнением. Однако, если подставить $O_3$ из третьего уравнения в первое, получим $2O_1 = O_2 + \frac{O_1+O_2}{2} \implies 4O_1 = 2O_2 + O_1 + O_2 \implies 3O_1 = 3O_2 \implies O_1=O_2$. Это противоречит предположению, что центры симметрии различны.Следовательно, фигура не может иметь ровно три центра симметрии.

Ответ: Нет, не может.

в)Да, фигура может иметь бесконечно много центров симметрии. Приведем несколько примеров.1. Прямая. Любая точка, принадлежащая прямой, является ее центром симметрии. Если точка $A$ лежит на прямой, то точка $A'$, симметричная ей относительно любой другой точки $O$ на той же прямой, также будет лежать на этой прямой.2. Полоса. Это область на плоскости, заключенная между двумя параллельными прямыми. Любая точка, лежащая на средней линии этой полосы, является ее центром симметрии. Множество таких центров образует прямую, а значит, оно бесконечно.3. График функции $y = \cos(x)$. Эта волнистая кривая имеет бесконечное множество центров симметрии. Это точки $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число. Эти точки являются точками перегиба графика, в которых он пересекает ось абсцисс.4. Бесконечная решетка. Фигура, образованная всеми точками на плоскости с целочисленными координатами $(m, n)$, где $m, n \in \mathbb{Z}$. Центром симметрии для такой фигуры является любая точка решетки, а также центр любого отрезка, соединяющего две точки решетки (например, точка с координатами $(k/2, l/2)$ для любых целых $k, l$). Множество таких центров бесконечно.

Ответ: Да, может.