Номер 39, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей:

а) параллелограмма, отличного от ромба;

б) ромба, отличного от квадрата;

в) прямоугольника, отличного от квадрата;

г) квадрата?

Центр симметрии n-го порядка — это точка, при повороте вокруг которой на угол $360^{\circ}/n$ фигура совмещается сама с собой. Точка пересечения диагоналей является центром вращательной симметрии для всех рассматриваемых фигур. Порядок симметрии $n$ — это количество положений, которые фигура занимает в процессе одного полного оборота вокруг центра, совмещаясь сама с собой.

а) параллелограмма, отличного от ромба

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. При повороте на $180^{\circ}$ вокруг этой точки каждая вершина переходит в противоположную, и параллелограмм совмещается сам с собой. Так как у такого параллелограмма смежные стороны и углы не равны, повороты на другие углы (например, $90^{\circ}$) не приведут к самосовмещению. Минимальный угол поворота, при котором фигура совпадает сама с собой, равен $180^{\circ}$. Порядок симметрии $n$ находится по формуле $n = 360^{\circ} / 180^{\circ} = 2$.
Ответ: 2.

б) ромба, отличного от квадрата

Точка пересечения диагоналей ромба является его центром симметрии. Как и у любого параллелограмма, при повороте на $180^{\circ}$ вокруг этой точки ромб совмещается сам с собой. У ромба, не являющегося квадратом, диагонали имеют разную длину. Поэтому при повороте на $90^{\circ}$ фигура не совместится сама с собой (длинная диагональ заняла бы место короткой и наоборот). Таким образом, минимальный угол поворота составляет $180^{\circ}$. Порядок симметрии равен $n = 360^{\circ} / 180^{\circ} = 2$.
Ответ: 2.

в) прямоугольника, отличного от квадрата

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. При повороте на $180^{\circ}$ вокруг этой точки прямоугольник совмещается сам с собой. У прямоугольника, не являющегося квадратом, смежные стороны имеют разную длину. Поэтому при повороте на $90^{\circ}$ фигура не совместится сама с собой (длинная сторона заняла бы место короткой и наоборот). Следовательно, минимальный угол поворота равен $180^{\circ}$. Порядок симметрии равен $n = 360^{\circ} / 180^{\circ} = 2$.
Ответ: 2.

г) квадрата

Квадрат является правильным четырехугольником. У него все стороны и углы равны, а диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Точка пересечения диагоналей является его центром симметрии. Квадрат совмещается сам с собой при поворотах на $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ вокруг своего центра. Минимальный угол поворота, при котором фигура совпадает сама с собой, равен $90^{\circ}$. Порядок симметрии равен $n = 360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$.
Ответ: 4.