Номер 43, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Для двух данных равных отрезков укажите движения, переводящие один в другой.

Пусть даны два равных отрезка, назовем их $AB$ и $CD$. Равенство отрезков означает, что их длины равны: $|AB| = |CD|$. Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния. Любое движение, которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $CD$, должно переводить концы отрезка $AB$ в концы отрезка $CD$. Существует ровно два различных движения, которые это делают, в зависимости от того, как сопоставляются концы отрезков.

Движение 1: Переводящее A в C и B в D

Такое движение сохраняет ориентацию (называется движением первого рода). В зависимости от взаимного расположения отрезков, это движение является либо параллельным переносом, либо поворотом.

Если отрезки $AB$ и $CD$ параллельны и одинаково направлены (то есть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны), то искомое движение — это параллельный перенос. Перенос осуществляется на вектор $\vec{AC}$ (или, что эквивалентно, на вектор $\vec{BD}$).

Во всех остальных случаях, когда $A$ переходит в $C$ и $B$ в $D$, движение является поворотом. Центр поворота $O$ — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AC$ и $BD$. Угол поворота — это ориентированный угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.

Важным частным случаем поворота является центральная симметрия (то есть поворот на $180^\circ$). Она имеет место, когда отрезки $AB$ и $CD$ параллельны, но противоположно направлены ($\vec{AB} = -\vec{CD}$). Центром симметрии в этом случае является середина отрезка $AC$ (которая также совпадает с серединой отрезка $BD$).

Движение 2: Переводящее A в D и B в C

Такое движение изменяет ориентацию на противоположную (называется движением второго рода). В общем случае таким движением является скользящая симметрия.

Скользящая симметрия — это композиция (последовательное выполнение) осевой симметрии относительно некоторой прямой $l$ и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой $l$. Ось $l$ этой скользящей симметрии проходит через середины отрезков $AD$ и $BC$.

Частным случаем скользящей симметрии является осевая симметрия, которая возникает, когда вектор параллельного переноса является нулевым. Осевая симметрия переводит отрезок $AB$ в $CD$ (при отображении $A \to D$ и $B \to C$) тогда, когда существует прямая, которая является серединным перпендикуляром одновременно для отрезков $AD$ и $BC$. Это возможно, например, если четырехугольник $ACBD$ является равнобедренной трапецией.

Таким образом, для любых двух равных отрезков на плоскости всегда существует ровно два движения, переводящие один в другой: одно движение первого рода (параллельный перенос или поворот) и одно движение второго рода (скользящая симметрия, частным случаем которой является осевая симметрия).

Ответ: Для двух равных отрезков существуют два движения, переводящие один в другой. Первое движение сохраняет ориентацию и является либо параллельным переносом, либо поворотом. Второе движение изменяет ориентацию и является скользящей симметрией (частным случаем которой является осевая симметрия).