Номер 50, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

50. Существуют ли прямые, которые переводятся гомотетией сами в себя?

Да, такие прямые существуют. Чтобы определить, какие именно, необходимо рассмотреть определение гомотетии и различные случаи.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ — это преобразование, при котором любая точка $M$ переходит в точку $M'$, такую что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Одним из ключевых свойств гомотетии является то, что она преобразует любую прямую $l$ в прямую $l'$, параллельную исходной прямой $l$. Прямая переходит сама в себя (является инвариантной), если её образ $l'$ совпадает с ней, то есть $l' = l$.

Проанализируем все возможные ситуации.

Случай 1: Коэффициент гомотетии $k = 1$

В этом случае векторное равенство принимает вид $\vec{OM'} = 1 \cdot \vec{OM}$, что означает, что точка $M'$ совпадает с точкой $M$ для любой точки плоскости. Такое преобразование называется тождественным. Каждая точка остается на своем месте, а значит, и любая прямая переходит сама в себя.

Случай 2: Коэффициент гомотетии $k \neq 1$

Здесь необходимо рассмотреть положение прямой относительно центра гомотетии $O$.

Подслучай 2а: Прямая $l$ проходит через центр гомотетии $O$.

Возьмем произвольную точку $M$ на прямой $l$. Так как $M$ лежит на прямой, проходящей через $O$, вектор $\vec{OM}$ направлен вдоль этой прямой. Ее образ, точка $M'$, определяется из соотношения $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Вектор $\vec{OM'}$ коллинеарен вектору $\vec{OM}$, следовательно, точка $M'$ также принадлежит прямой $l$. Таким образом, любая точка прямой $l$ отображается на точку этой же прямой. Чтобы доказать, что образ всей прямой $l$ совпадает с ней самой, нужно показать, что любая точка $P$ на прямой $l$ является образом некоторой точки $M$ с этой же прямой. Действительно, для любой точки $P \in l$ можно найти ее прообраз $M$ по формуле $\vec{OM} = \frac{1}{k}\vec{OP}$. Точка $M$ также будет лежать на прямой $l$. Следовательно, прямая $l$ переходит сама в себя.

Подслучай 2б: Прямая $l$ не проходит через центр гомотетии $O$.

Образ $l'$ прямой $l$ является прямой, параллельной $l$. Если бы прямая $l$ переходила сама в себя ($l' = l$), то образ любой ее точки $A$ должен был бы также лежать на $l$. Пусть $A$ — точка на прямой $l$. Ее образ $A'$ лежит на прямой $OA$ и удовлетворяет условию $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Поскольку $k \neq 1$, точка $A'$ не совпадает с $A$. Если $A'$ также лежит на $l$, то вся прямая $OA$ должна совпадать с прямой $l$. Но это означает, что прямая $l$ проходит через центр $O$, что противоречит нашему предположению. Следовательно, при $k \neq 1$ прямая, не проходящая через центр гомотетии, не может переходить сама в себя. Она переходит в другую прямую, параллельную ей.

Суммируя вышесказанное, можно сделать вывод, что инвариантными (переходящими в себя) прямыми при гомотетии являются:

1. Любая прямая, если коэффициент гомотетии $k=1$.

2. Любая прямая, проходящая через центр гомотетии, при любом ненулевом коэффициенте $k$.

Ответ: Да, существуют. Это любая прямая, проходящая через центр гомотетии. Также в частном случае, когда коэффициент гомотетии $k=1$, любая прямая плоскости переходит сама в себя.