Номер 52, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

52. Как расположены две окружности друг относительно друга, если их центром гомотетии является:

а) центр одной из окружностей;

б) точка, принадлежащая одной из данных окружностей?

а) Пусть окружность $C_2$ с центром $O_2$ и радиусом $r_2$ является образом окружности $C_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$ при гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $k$. По определению гомотетии, центры окружностей связаны соотношением $\vec{SO_2} = k \cdot \vec{SO_1}$.
В данном случае центром гомотетии является центр одной из окружностей. Предположим, что $S = O_1$.
Тогда векторное равенство принимает вид: $\vec{O_1O_2} = k \cdot \vec{O_1O_1}$.
Поскольку $\vec{O_1O_1}$ является нулевым вектором, то и $\vec{O_1O_2} = \vec{0}$.
Это означает, что точки $O_1$ и $O_2$ совпадают, то есть центры окружностей находятся в одной и той же точке.
Следовательно, окружности имеют общий центр, то есть они являются концентрическими. Их радиусы связаны соотношением $r_2 = |k|r_1$. Если $|k|=1$, то окружности совпадают, что является частным случаем концентрических окружностей.
Ответ: окружности являются концентрическими.

б) Пусть, как и в предыдущем пункте, окружность $C_2$ (центр $O_2$, радиус $r_2$) является образом окружности $C_1$ (центр $O_1$, радиус $r_1$) при гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $k$.
В данном случае центр гомотетии $S$ — это точка, принадлежащая одной из данных окружностей. Пусть точка $S$ лежит на окружности $C_1$.
Это означает, что расстояние от центра гомотетии $S$ до центра окружности $O_1$ равно ее радиусу: $|SO_1| = r_1$.
По свойству гомотетии, радиус окружности-образа $C_2$ равен $r_2 = |k|r_1$.
Также из определения гомотетии $\vec{SO_2} = k \cdot \vec{SO_1}$ следует, что для расстояний выполняется равенство $|SO_2| = |k| \cdot |SO_1|$. Подставив $|SO_1| = r_1$, получим $|SO_2| = |k|r_1$.
Сравнивая выражения для $r_2$ и $|SO_2|$, мы видим, что $|SO_2| = r_2$. Это означает, что точка $S$ также принадлежит и окружности $C_2$. Таким образом, $S$ — общая точка двух окружностей.
Из векторного равенства $\vec{SO_2} = k \cdot \vec{SO_1}$ следует, что точки $S$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Так как $S$ является общей точкой окружностей и лежит на линии их центров, $S$ — точка касания.
Рассмотрим два возможных случая в зависимости от знака коэффициента гомотетии $k$:
1. Если $k > 0$ (прямая гомотетия), то векторы $\vec{SO_1}$ и $\vec{SO_2}$ сонаправлены. Это означает, что центры $O_1$ и $O_2$ лежат по одну сторону от точки $S$. Расстояние между центрами окружностей равно $d(O_1, O_2) = ||SO_2| - |SO_1|| = |r_2 - r_1|$. Это является условием внутреннего касания окружностей, и точка $S$ — их точка касания.
2. Если $k < 0$ (обратная гомотетия), то векторы $\vec{SO_1}$ и $\vec{SO_2}$ противоположно направлены. Это означает, что точка $S$ лежит между точками $O_1$ и $O_2$. Расстояние между центрами окружностей равно $d(O_1, O_2) = |SO_1| + |SO_2| = r_1 + r_2$. Это является условием внешнего касания окружностей, и точка $S$ — их точка касания.
Следовательно, в обоих случаях окружности касаются друг друга.
Ответ: окружности касаются друг друга (внешним или внутренним образом), а центр гомотетии является их точкой касания.