Номер 51, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

51. Даны точки $A$, $B$ и гомотетичные им точки $A'$, $B'$ соответственно.

Можно ли найти центр данной гомотетии?

Да, в общем случае найти центр гомотетии возможно. Однако существуют частные случаи, когда это сделать нельзя или центр не является единственным.

Общий случай

По определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, для любой точки $A$ ее образ $A'$ лежит на прямой $OA$, причем выполняется векторное равенство $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$.

Это означает, что центр гомотетии $O$ всегда лежит на прямой, соединяющей любую точку с ее образом. В нашей задаче даны две пары таких точек: $(A, A')$ и $(B, B')$.

Следовательно, центр гомотетии $O$ должен одновременно принадлежать прямой $AA'$ и прямой $BB'$.

Таким образом, для нахождения центра гомотетии $O$ достаточно выполнить следующие построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $A'$.
2. Провести прямую через точки $B$ и $B'$.
3. Точка пересечения этих прямых и будет искомым центром гомотетии $O$.

Этот способ работает всегда, когда прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются в одной-единственной точке.

Частные случаи

Проблемы с нахождением центра возникают, когда прямые $AA'$ и $BB'$ не пересекаются (т.е. они параллельны) или совпадают.

1. Преобразование является параллельным переносом.
Если отрезки $AB$ и $A'B'$ равны по длине и параллельны, то есть $\vec{AB} = \vec{A'B'}$, то преобразование является параллельным переносом на вектор $\vec{v} = \vec{AA'}$. В этом случае $\vec{AA'} = \vec{BB'}$, и прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны (или совпадают, если точки $A, B, A', B'$ лежат на одной прямой). В этом случае говорят, что гомотетия имеет коэффициент $k=1$, но не является тождественным преобразованием. У такого преобразования нет центра в евклидовой плоскости (или говорят, что центр находится в бесконечности). Найти его невозможно.

2. Преобразование является тождественным.
Если $A = A'$ и $B = B'$, то преобразование является тождественным. Коэффициент гомотетии $k=1$. В этом случае любая точка плоскости может быть выбрана в качестве центра гомотетии, то есть центр не определяется однозначно.

3. Точки $A, B, A', B'$ лежат на одной прямой.
В этом случае прямые $AA'$ и $BB'$ совпадают. Однако центр $O$ все равно можно найти однозначно (он будет лежать на этой же прямой), за исключением случая, описанного в пункте 1 (когда $\vec{AA'} = \vec{BB'}$, то есть это параллельный перенос вдоль прямой).

Ответ: Да, найти центр данной гомотетии можно, построив его как точку пересечения прямых $AA'$ и $BB'$. Исключение составляют два случая:
1. Если преобразование является параллельным переносом ($\vec{AB} = \vec{A'B'}$ и $A \neq A'$), то конечного центра гомотетии не существует.
2. Если преобразование является тождественным ($A=A'$ и $B=B'$), то центром может быть любая точка плоскости, то есть он не определен однозначно.