Номер 54, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

54. Постройте треугольник, гомотетичный данному, приняв за центр одну из вершин данного треугольника и коэффициент гомотетии, равный:

а) 3;

б) $\frac{1}{3}$;

а)

Для построения треугольника, гомотетичного данному с коэффициентом $k=3$ и центром в одной из его вершин, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его вершин в качестве центра гомотетии, например, вершину $A$.

2. Образом вершины $A$ при такой гомотетии будет сама точка $A$, так как она является центром. Обозначим её $A'$. Итак, $A' = A$.

3. Для нахождения образа вершины $B$, точки $B'$, должно выполняться векторное равенство $\vec{AB'} = 3 \cdot \vec{AB}$. Это означает, что точка $B'$ лежит на луче $AB$ и расстояние $AB'$ в три раза больше расстояния $AB$. Для построения нужно провести луч из точки $A$ через точку $B$ и отложить на нём от точки $A$ отрезок $AB'$, равный $3 \cdot AB$.

4. Аналогично находим образ вершины $C$, точку $C'$. Она должна удовлетворять равенству $\vec{AC'} = 3 \cdot \vec{AC}$. Точка $C'$ лежит на луче $AC$ и расстояние $AC'$ в три раза больше расстояния $AC$. Строим точку $C'$ так, чтобы $AC' = 3 \cdot AC$.

5. Соединяем точки $A$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $AB'C'$ является искомым треугольником.

Ответ: Построенный треугольник $AB'C'$ имеет с исходным треугольником $ABC$ общую вершину $A$, являющуюся центром гомотетии. Вершины $B'$ и $C'$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $AC$ соответственно, причём $AB' = 3 \cdot AB$ и $AC' = 3 \cdot AC$.

б)

Для построения треугольника, гомотетичного данному с коэффициентом $k=\frac{1}{3}$ и центром в одной из его вершин, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его вершин в качестве центра гомотетии, например, вершину $A$.

2. Образом вершины $A$ при гомотетии с центром в $A$ является сама точка $A$. Обозначим её $A'$, то есть $A' = A$.

3. Для нахождения образа вершины $B$, точки $B'$, должно выполняться равенство $\vec{AB'} = \frac{1}{3} \cdot \vec{AB}$. Это означает, что точка $B'$ лежит на отрезке $AB$, и её расстояние от $A$ составляет одну треть длины отрезка $AB$. Для построения точки $B'$ необходимо разделить отрезок $AB$ на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса) и выбрать точку деления, ближайшую к $A$.

4. Аналогично находим образ вершины $C$, точку $C'$. Она лежит на отрезке $AC$ и удовлетворяет условию $AC' = \frac{1}{3} AC$. Для этого отрезок $AC$ также нужно разделить на три равные части и выбрать точку деления, ближайшую к $A$.

5. Соединяем точки $A$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $AB'C'$ является искомым.

Ответ: Построенный треугольник $AB'C'$ имеет с исходным треугольником $ABC$ общую вершину $A$. Его вершины $B'$ и $C'$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ исходного треугольника соответственно, причём $AB' = \frac{1}{3}AB$ и $AC' = \frac{1}{3}AC$.