Номер 53, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

53. Докажите, что любые две окружности подобны и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

Докажите, что любые две окружности подобны и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

По определению, две геометрические фигуры являются подобными, если одну из них можно получить из другой с помощью преобразования подобия. Преобразование подобия — это композиция (последовательное применение) движения (например, параллельного переноса) и гомотетии (преобразования, изменяющего все расстояния в одинаковое число раз).

Рассмотрим две произвольные окружности на плоскости: окружность $\Omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и окружность $\Omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

Чтобы доказать их подобие, мы должны показать, что существует преобразование подобия, которое переводит окружность $\Omega_1$ в окружность $\Omega_2$. Построим такое преобразование в два этапа:

1. Параллельный перенос. Выполним параллельный перенос плоскости на вектор $\vec{v} = \vec{O_1O_2}$. В результате этого преобразования центр $O_1$ окружности $\Omega_1$ перейдет в точку $O_2$, которая является центром окружности $\Omega_2$. Сама окружность $\Omega_1$ перейдет в новую окружность $\Omega'_1$, центр которой совпадает с центром $O_2$, а радиус останется прежним, то есть $R_1$, так как параллельный перенос является движением и сохраняет расстояния.

2. Гомотетия. Теперь у нас есть две концентрические окружности (с общим центром $O_2$): $\Omega'_1$ с радиусом $R_1$ и $\Omega_2$ с радиусом $R_2$. Применим к окружности $\Omega'_1$ преобразование гомотетии с центром в точке $O_2$ и коэффициентом $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Возьмем произвольную точку $M$ на окружности $\Omega'_1$. Расстояние от этой точки до центра $O_2$ равно $R_1$. Гомотетия преобразует точку $M$ в точку $M'$, такую, что $\vec{O_2M'} = k \cdot \vec{O_2M}$. Найдем расстояние от новой точки $M'$ до центра $O_2$:

$|O_2M'| = |k \cdot \vec{O_2M}| = |k| \cdot |O_2M| = \frac{R_2}{R_1} \cdot R_1 = R_2$.

Это означает, что любая точка $M$ с окружности $\Omega'_1$ после гомотетии переходит в точку $M'$, которая находится на расстоянии $R_2$ от центра $O_2$, то есть принадлежит окружности $\Omega_2$. Таким образом, гомотетия преобразует окружность $\Omega'_1$ в окружность $\Omega_2$.

Мы последовательно применили параллельный перенос и гомотетию и преобразовали окружность $\Omega_1$ в окружность $\Omega_2$. Композиция этих преобразований является преобразованием подобия. Следовательно, любые две окружности подобны.

Коэффициент подобия по определению равен модулю коэффициента гомотетии, использованного в преобразовании. В нашем случае он равен $k = \frac{R_2}{R_1}$. Это доказывает, что коэффициент подобия двух окружностей равен отношению их радиусов.

Ответ: Мы доказали, что любую окружность можно перевести в любую другую с помощью композиции параллельного переноса и гомотетии. Это по определению означает, что любые две окружности подобны. Коэффициент гомотетии, а следовательно, и коэффициент подобия, равен отношению радиусов этих окружностей $k = \frac{R_2}{R_1}$.