Номер 49, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Точка A' получена гомотетией точки A. Какая из этих точек расположена ближе к центру гомотетии O, если:

a) $0 < k < 1$;

б) $k > 1$?

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $A$ в точку $A'$. По определению гомотетии, эти точки связаны векторным соотношением $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Из этого соотношения следует, что длина вектора $\vec{OA'}$ (то есть расстояние $OA'$) связана с длиной вектора $\vec{OA}$ (расстоянием $OA$) формулой: $OA' = |k| \cdot OA$. Чтобы определить, какая из точек, $A$ или $A'$, расположена ближе к центру $O$, необходимо сравнить расстояния $OA$ и $OA'$.

а) $0 < k < 1$

В данном случае коэффициент гомотетии $k$ является положительным числом, меньшим 1. Так как $k > 0$, то $|k| = k$. Формула для расстояний принимает вид: $OA' = k \cdot OA$. Поскольку по условию $0 < k < 1$, то при умножении расстояния $OA$ (которое является положительной величиной, если точка $A$ не совпадает с $O$) на коэффициент $k$ мы получим значение, меньшее чем $OA$. Таким образом, выполняется неравенство $OA' < OA$. Это означает, что расстояние от точки $A'$ до центра $O$ меньше, чем расстояние от точки $A$ до центра $O$. Следовательно, точка $A'$ расположена ближе к центру гомотетии.
Ответ: Точка $A'$.

б) $k > 1$

В данном случае коэффициент гомотетии $k$ больше 1. Так как $k > 1$, он является положительным числом, и, следовательно, $|k| = k$. Формула для расстояний также имеет вид: $OA' = k \cdot OA$. Поскольку по условию $k > 1$, то при умножении расстояния $OA$ на коэффициент $k$ мы получим значение, большее чем $OA$. Таким образом, выполняется неравенство $OA' > OA$. Это означает, что расстояние от точки $A'$ до центра $O$ больше, чем расстояние от точки $A$ до центра $O$. Следовательно, точка $A$ расположена ближе к центру гомотетии.
Ответ: Точка $A$.