Номер 56, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

56. Какие условия должны выполняться, чтобы были подобны два ромба?

По определению, два многоугольника считаются подобными, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Рассмотрим эти два условия применительно к ромбам.

1. Пропорциональность сторон.
Ромб — это четырёхугольник, у которого все четыре стороны равны. Пусть длина стороны первого ромба равна $a_1$, а второго — $a_2$. Поскольку все стороны одного ромба равны между собой, и все стороны второго также равны между собой, то отношение длин любых соответственных сторон всегда будет одинаковым и равным $k = \frac{a_1}{a_2}$. Таким образом, условие пропорциональности сторон для любых двух ромбов выполняется автоматически.

2. Равенство углов.
Так как условие пропорциональности сторон всегда выполнено, для подобия двух ромбов достаточно, чтобы их соответственные углы были равны. В ромбе, как и в любом параллелограмме, есть две пары равных углов (два острых и два тупых), а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Если хотя бы один угол одного ромба равен какому-либо углу другого, то и все остальные соответственные углы будут равны. Например, если острый угол $\alpha_1$ первого ромба равен острому углу $\alpha_2$ второго, то их тупые углы $\beta_1$ и $\beta_2$ также будут равны, так как $\beta_1 = 180^\circ - \alpha_1$ и $\beta_2 = 180^\circ - \alpha_2$.

Следовательно, основное условие подобия двух ромбов — это наличие у них равных углов.

Это условие можно выразить и через диагонали. Диагонали ромба $d_1$ и $d_2$ взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Углы ромба однозначно определяются соотношением его диагоналей. Для острого угла $\alpha$ справедливо соотношение $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_1}{d_2}$ (где $d_1$ — диагональ, противолежащая углу $\alpha$). Равенство углов у двух ромбов ($\alpha_1 = \alpha_2$) эквивалентно равенству отношений их диагоналей $(\frac{d_{1a}}{d_{1b}} = \frac{d_{2a}}{d_{2b}})$.

Таким образом, можно сформулировать два эквивалентных условия.

Ответ: Два ромба подобны, если выполняется любое из следующих условий:
1. Угол одного ромба равен углу другого ромба.
2. Отношение диагоналей одного ромба равно отношению диагоналей другого ромба.