Страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Могут ли при движении разные точки переходить в одну точку?

41.

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к определению движения в геометрии. Движение (или изометрия) — это такое преобразование фигуры, при котором сохраняются расстояния между ее точками.

Пусть у нас есть две различные точки $A$ и $B$. Так как точки разные ($A \neq B$), расстояние между ними $AB$ будет положительным числом: $AB > 0$.

Предположим, что при некотором движении обе эти точки переходят в одну и ту же точку $M$. Обозначим образы точек $A$ и $B$ как $A'$ и $B'$. По нашему предположению, $A' = M$ и $B' = M$.

Теперь найдем расстояние между образами этих точек, то есть расстояние $A'B'$. Так как $A'$ и $B'$ совпадают с точкой $M$, расстояние между ними равно нулю: $A'B' = 0$.

Однако по определению движения, расстояние между образами точек должно быть равно расстоянию между самими точками: $A'B' = AB$.

Сопоставив наши результаты, мы получаем, что $AB = 0$. Но это противоречит нашему исходному условию, что $A$ и $B$ — разные точки, и расстояние между ними больше нуля.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Разные точки при движении не могут перейти в одну и ту же точку. Каждая точка имеет свой уникальный образ.

Ответ: Нет, не могут.

41. Докажите, что движение переводит окружность в окружность того же радиуса.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $r$. По определению, окружность — это множество всех точек $X$ плоскости, расстояние от которых до центра $O$ равно радиусу $r$. Математически это можно записать так: $\omega = \{X \mid OX = r\}$.

Рассмотрим произвольное движение (изометрию) $f$. Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. То есть, для любых точек $A$ и $B$ и их образов $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$ выполняется равенство $AB = A'B'$.

Нам нужно доказать, что образом окружности $\omega$ при движении $f$ является окружность $\omega'$ с тем же радиусом $r$.

Пусть $O' = f(O)$ — образ центра $O$ при движении $f$.

Возьмем любую точку $X$ на исходной окружности $\omega$. По определению окружности, $OX = r$. Пусть $X' = f(X)$ — образ точки $X$ при движении $f$. Так как $f$ — движение, оно сохраняет расстояние между точками $O$ и $X$. Следовательно, расстояние между их образами $O'$ и $X'$ будет таким же: $O'X' = OX$.

Поскольку $OX = r$, то и $O'X' = r$. Это означает, что любая точка $X'$, являющаяся образом точки $X$ с исходной окружности, находится на расстоянии $r$ от точки $O'$. Таким образом, все точки образа лежат на окружности $\omega'$ с центром в $O'$ и радиусом $r$.

Теперь докажем, что любая точка на окружности $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $r$ является образом некоторой точки с окружности $\omega$.

Возьмем произвольную точку $Y'$ на окружности $\omega'$. По определению, $O'Y' = r$. Поскольку движение $f$ является обратимым преобразованием и обратное к нему преобразование $f^{-1}$ также является движением, мы можем найти прообраз точки $Y'$, то есть точку $Y = f^{-1}(Y')$.

Так как $f$ является движением, оно сохраняет расстояние между точками $Y$ и $O$. Расстояние между $Y$ и $O$ равно расстоянию между их образами $f(Y)=Y'$ и $f(O)=O'$. То есть, $OY = O'Y'$.

Так как мы выбрали точку $Y'$ на окружности $\omega'$, то $O'Y' = r$. Следовательно, $OY = r$.

По определению исходной окружности $\omega$, если расстояние от точки $Y$ до центра $O$ равно $r$, то точка $Y$ лежит на окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что:
1. Каждая точка образа исходной окружности лежит на окружности $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $r$.
2. Каждая точка окружности $\omega'$ является образом некоторой точки исходной окружности $\omega$.

Следовательно, движение $f$ переводит окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $r$ в окружность $\omega'$ с центром $O'$ и тем же радиусом $r$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Движение (изометрия) по определению сохраняет расстояния. Окружность определяется как множество точек, равноудаленных от центра. Пусть есть окружность с центром $O$ и радиусом $r$. При движении $f$ центр $O$ перейдет в точку $O'$, а любая точка $X$ на окружности — в точку $X'$. Так как движение сохраняет расстояния, расстояние $O'X'$ будет равно расстоянию $OX$. Поскольку для любой точки $X$ на исходной окружности $OX = r$, то для любой точки $X'$ на образе окружности будет выполняться $O'X' = r$. Это означает, что образ является окружностью с центром $O'$ и тем же радиусом $r$.

42. Пусть движение переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$. Докажите, что при этом высоты, медианы и биссектрисы треугольника $ABC$ перейдут в высоты, медианы и биссектрисы треугольника $A'B'C'$ соответственно.

Движение (изометрия) — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Ключевыми свойствами движения, которые мы будем использовать, являются:

• Сохранение длин отрезков.
• Сохранение мер углов.
• Сохранение коллинеарности точек (точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой).
• Прямая переходит в прямую, отрезок — в отрезок, луч — в луч.

Пусть дано движение $f$, которое переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$, где $A' = f(A)$, $B' = f(B)$ и $C' = f(C)$.

Высоты

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$. По определению высоты, $AH \perp BC$, то есть угол между прямой $AH$ и прямой $BC$ составляет $90^\circ$. Точка $H$ лежит на прямой $BC$.

При движении $f$ прямая $AH$ переходит в прямую $A'H'$, а прямая $BC$ — в прямую $B'C'$, где $H' = f(H)$.

Поскольку движение сохраняет углы, угол между образами прямых $A'H'$ и $B'C'$ также будет равен $90^\circ$. Следовательно, $A'H' \perp B'C'$.

Так как точка $H$ лежит на прямой $BC$, ее образ, точка $H'$, будет лежать на образе прямой, то есть на прямой $B'C'$.

Таким образом, отрезок $A'H'$ является перпендикуляром, опущенным из вершины $A'$ на прямую, содержащую противолежащую сторону $B'C'$. Это означает, что $A'H'$ является высотой треугольника $A'B'C'$.

Ответ: Доказано, что движение переводит высоту треугольника $ABC$ в соответствующую высоту треугольника $A'B'C'$.

Медианы

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BM = MC$.

При движении $f$ отрезок $BC$ переходит в отрезок $B'C'$, а точка $M$ — в точку $M' = f(M)$.

Поскольку движение сохраняет расстояния, $B'M' = BM$ и $M'C' = MC$. Так как $BM = MC$, то и $B'M' = M'C'$.

Так как точка $M$ лежит на отрезке $BC$, ее образ $M'$ будет лежать на отрезке $B'C'$.

Из того, что $M'$ лежит на $B'C'$ и $B'M' = M'C'$, следует, что $M'$ — середина стороны $B'C'$.

Отрезок $AM$ при движении $f$ переходит в отрезок $A'M'$. Поскольку $A'M'$ соединяет вершину $A'$ с серединой противолежащей стороны $B'C'$, он является медианой треугольника $A'B'C'$.

Ответ: Доказано, что движение переводит медиану треугольника $ABC$ в соответствующую медиану треугольника $A'B'C'$.

Биссектрисы

Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$. По определению, луч $AL$ делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL$.

При движении $f$ угол $BAL$ переходит в угол $B'A'L'$, а угол $CAL$ — в угол $C'A'L'$, где $L' = f(L)$.

Поскольку движение сохраняет величины углов, $\angle B'A'L' = \angle BAL$ и $\angle C'A'L' = \angle CAL$.

Так как $\angle BAL = \angle CAL$, то и $\angle B'A'L' = \angle C'A'L'$. Это означает, что луч $A'L'$ делит угол $B'A'C'$ пополам.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$, следовательно, ее образ $L'$ лежит на стороне $B'C'$.

Таким образом, отрезок $A'L'$ выходит из вершины $A'$, делит угол $B'A'C'$ на два равных угла и заканчивается на противолежащей стороне $B'C'$. Следовательно, $A'L'$ является биссектрисой треугольника $A'B'C'$.

Ответ: Доказано, что движение переводит биссектрису треугольника $ABC$ в соответствующую биссектрису треугольника $A'B'C'$.

43. Для двух данных равных отрезков укажите движения, переводящие один в другой.

Пусть даны два равных отрезка, назовем их $AB$ и $CD$. Равенство отрезков означает, что их длины равны: $|AB| = |CD|$. Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния. Любое движение, которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $CD$, должно переводить концы отрезка $AB$ в концы отрезка $CD$. Существует ровно два различных движения, которые это делают, в зависимости от того, как сопоставляются концы отрезков.

Движение 1: Переводящее A в C и B в D

Такое движение сохраняет ориентацию (называется движением первого рода). В зависимости от взаимного расположения отрезков, это движение является либо параллельным переносом, либо поворотом.

Если отрезки $AB$ и $CD$ параллельны и одинаково направлены (то есть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны), то искомое движение — это параллельный перенос. Перенос осуществляется на вектор $\vec{AC}$ (или, что эквивалентно, на вектор $\vec{BD}$).

Во всех остальных случаях, когда $A$ переходит в $C$ и $B$ в $D$, движение является поворотом. Центр поворота $O$ — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AC$ и $BD$. Угол поворота — это ориентированный угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.

Важным частным случаем поворота является центральная симметрия (то есть поворот на $180^\circ$). Она имеет место, когда отрезки $AB$ и $CD$ параллельны, но противоположно направлены ($\vec{AB} = -\vec{CD}$). Центром симметрии в этом случае является середина отрезка $AC$ (которая также совпадает с серединой отрезка $BD$).

Движение 2: Переводящее A в D и B в C

Такое движение изменяет ориентацию на противоположную (называется движением второго рода). В общем случае таким движением является скользящая симметрия.

Скользящая симметрия — это композиция (последовательное выполнение) осевой симметрии относительно некоторой прямой $l$ и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой $l$. Ось $l$ этой скользящей симметрии проходит через середины отрезков $AD$ и $BC$.

Частным случаем скользящей симметрии является осевая симметрия, которая возникает, когда вектор параллельного переноса является нулевым. Осевая симметрия переводит отрезок $AB$ в $CD$ (при отображении $A \to D$ и $B \to C$) тогда, когда существует прямая, которая является серединным перпендикуляром одновременно для отрезков $AD$ и $BC$. Это возможно, например, если четырехугольник $ACBD$ является равнобедренной трапецией.

Таким образом, для любых двух равных отрезков на плоскости всегда существует ровно два движения, переводящие один в другой: одно движение первого рода (параллельный перенос или поворот) и одно движение второго рода (скользящая симметрия, частным случаем которой является осевая симметрия).

Ответ: Для двух равных отрезков существуют два движения, переводящие один в другой. Первое движение сохраняет ориентацию и является либо параллельным переносом, либо поворотом. Второе движение изменяет ориентацию и является скользящей симметрией (частным случаем которой является осевая симметрия).

44. Докажите, что две окружности равны, если равны их радиусы.

По определению, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Наложение — это движение (или изометрия), то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Чтобы доказать, что две окружности равны, нужно показать, что одну из них можно наложить на другую так, чтобы они полностью совпали.

Пусть даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

По условию задачи, радиусы этих окружностей равны, то есть $R_1 = R_2$. Обозначим эту величину радиуса как $R$.

Совместим центр первой окружности $O_1$ с центром второй окружности $O_2$ с помощью параллельного переноса. Параллельный перенос является движением, поэтому он сохраняет форму и размеры фигуры. Следовательно, первая окружность перейдет в окружность с тем же радиусом $R_1=R$, но ее центр теперь будет находиться в точке $O_2$.

После этого преобразования мы имеем две окружности, у которых и центр (точка $O_2$), и радиус ($R$) совпадают.

По определению, окружность есть множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра). Так как у обеих окружностей один и тот же центр и один и тот же радиус, они состоят из одного и того же множества точек. Это означает, что они полностью совпадают.

Поскольку мы смогли совместить первую окружность со второй путем наложения (с помощью движения), то исходные окружности равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Две окружности с равными радиусами равны, так как одну можно совместить с другой путем параллельного переноса, который совместит их центры. После этого окружности полностью совпадут, так как будут представлять собой множество точек, равноудаленных на одно и то же расстояние (равный радиус) от одной и той же точки (совмещенного центра).

45. Будут ли равны два четырехугольника, если у них все стороны соответственно равны?

Нет, два четырехугольника не обязательно будут равны, даже если все их стороны соответственно равны.

В отличие от треугольников, для которых существует признак равенства по трем сторонам (SSS), для четырехугольников аналогичный признак не работает. Четырехугольник не является жесткой фигурой. Это означает, что, имея четыре стороны фиксированной длины, можно изменять углы между ними, получая при этом разные по форме (а значит, и не равные) четырехугольники.

Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим простой контрпример: квадрат и ромб.

1. Возьмем квадрат со стороной $a$. Все его стороны равны $a$, и все углы прямые ($90^\circ$).
2. Теперь возьмем ромб, у которого все стороны также равны $a$, но углы не являются прямыми (например, два острых угла по $60^\circ$ и два тупых по $120^\circ$).

У этих двух фигур — квадрата и ромба — все соответствующие стороны равны. Однако очевидно, что сами фигуры не равны, так как их невозможно совместить наложением из-за разных углов.

Для того чтобы однозначно задать четырехугольник и доказать равенство двух четырехугольников, помимо равенства всех сторон, необходимо дополнительное условие. Например, равенство хотя бы одного соответствующего угла или равенство соответствующей диагонали. Если, к примеру, у двух четырехугольников равны все четыре стороны и одна диагональ, то они будут равны, так как диагональ разбивает каждый четырехугольник на два треугольника, которые будут равны по трем сторонам.

Ответ: Нет.

46. Фигура $F$ подобна фигуре $F'$ с коэффициентом $k$. С каким коэффициентом фигура $F'$ подобна фигуре $F$?

По определению, если фигура $F$ подобна фигуре $F'$ с коэффициентом подобия $k$, это означает, что отношение любого линейного размера в фигуре $F'$ (например, длины отрезка $L'$) к соответствующему ему линейному размеру в фигуре $F$ (длине отрезка $L$) постоянно и равно $k$.

Математически это можно записать как соотношение:

$\frac{L'}{L} = k$

Теперь нам нужно найти коэффициент, с которым фигура $F'$ подобна фигуре $F$. Обозначим этот новый коэффициент как $k'$. Подобие фигуры $F'$ фигуре $F$ означает, что мы рассматриваем преобразование, переводящее $F'$ в $F$. Следовательно, коэффициент $k'$ будет равен отношению линейного размера в фигуре $F$ к соответствующему ему линейному размеру в фигуре $F'$.

$k' = \frac{L}{L'}$

Чтобы найти значение $k'$, мы можем использовать исходное соотношение $\frac{L'}{L} = k$. Выразим из него искомое отношение $\frac{L}{L'}$. Для этого достаточно взять обратную величину от обеих частей равенства (перевернуть дроби):

$\frac{1}{\frac{L'}{L}} = \frac{1}{k}$

$\frac{L}{L'} = \frac{1}{k}$

Таким образом, мы видим, что $k' = \frac{1}{k}$.

Ответ: $\frac{1}{k}$

47. Приведите примеры фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия.

Вопрос можно интерпретировать как поиск геометрических фигур, которые инвариантны (переходят сами в себя) относительно преобразования подобия (гомотетии) с некоторым определенным для каждой фигуры центром и произвольным положительным коэффициентом подобия $k$.

Примеры таких фигур:

Точка
Если центром подобия является сама точка, то при любом коэффициенте $k$ она отображается на себя. Это самый тривиальный пример.

Прямая
Если центр подобия выбрать на самой прямой, то при гомотетии с любым коэффициентом $k > 0$ любая точка прямой перейдет в другую точку этой же прямой. Таким образом, вся прямая перейдет сама в себя.

Луч
Если центр подобия совпадает с начальной точкой луча, то при гомотетии с любым положительным коэффициентом $k$ луч преобразуется сам в себя.

Угол
Угол представляет собой объединение двух лучей с общим началом (вершиной). Если в качестве центра подобия выбрать вершину угла, то каждый из лучей перейдет сам в себя, а значит, и весь угол перейдет в себя при любом $k > 0$.

Плоскость
Если центром подобия является любая точка плоскости, то вся плоскость при преобразовании подобия с любым коэффициентом перейдет сама в себя. Аналогично для всего пространства.

Логарифмическая спираль
Это более сложный, но классический пример. Логарифмическая спираль, описываемая в полярных координатах уравнением $r = a e^{b\theta}$, обладает уникальным свойством: преобразование подобия (масштабирование) с центром в ее полюсе (начале координат) эквивалентно повороту спирали вокруг этого же полюса. Это означает, что после масштабирования с любым коэффициентом $k$ новая фигура может быть совмещена с исходной путем поворота, то есть она ей конгруэнтна. Таким образом, она подобна самой себе нетривиальным образом.

Ответ: Точка, прямая, луч, угол, плоскость, логарифмическая спираль.

48. Верно ли, что если два угла подобны, то они равны?

Да, это утверждение верно. Чтобы понять почему, необходимо обратиться к определениям подобия и равенства фигур в геометрии.

По определению, две геометрические фигуры называются подобными, если одна может быть получена из другой путем преобразования подобия. Преобразование подобия — это комбинация движения (параллельного переноса, поворота, симметрии) и гомотетии (растяжения или сжатия относительно центра с некоторым положительным коэффициентом подобия $k$).

Ключевое свойство любого преобразования подобия заключается в том, что оно сохраняет углы. Это означает, что если мы применяем преобразование подобия к какой-либо фигуре, то углы в получившейся фигуре будут равны соответствующим углам в исходной фигуре. Например, при подобии многоугольников их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны.

Угол как геометрическая фигура определяется исключительно своей мерой (в градусах или радианах), а не длиной его сторон (лучи имеют бесконечную длину). Если два угла подобны, это означает, что один можно преобразовать в другой с помощью преобразования подобия. Поскольку это преобразование сохраняет меру угла, то меры этих двух углов должны быть одинаковыми.

Два угла считаются равными тогда и только тогда, когда их меры равны. Следовательно, из подобия двух углов напрямую следует их равенство.

Ответ: Да, верно.

49. Точка A' получена гомотетией точки A. Какая из этих точек расположена ближе к центру гомотетии O, если:

a) $0 < k < 1$;

б) $k > 1$?

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $A$ в точку $A'$. По определению гомотетии, эти точки связаны векторным соотношением $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Из этого соотношения следует, что длина вектора $\vec{OA'}$ (то есть расстояние $OA'$) связана с длиной вектора $\vec{OA}$ (расстоянием $OA$) формулой: $OA' = |k| \cdot OA$. Чтобы определить, какая из точек, $A$ или $A'$, расположена ближе к центру $O$, необходимо сравнить расстояния $OA$ и $OA'$.

а) $0 < k < 1$

В данном случае коэффициент гомотетии $k$ является положительным числом, меньшим 1. Так как $k > 0$, то $|k| = k$. Формула для расстояний принимает вид: $OA' = k \cdot OA$. Поскольку по условию $0 < k < 1$, то при умножении расстояния $OA$ (которое является положительной величиной, если точка $A$ не совпадает с $O$) на коэффициент $k$ мы получим значение, меньшее чем $OA$. Таким образом, выполняется неравенство $OA' < OA$. Это означает, что расстояние от точки $A'$ до центра $O$ меньше, чем расстояние от точки $A$ до центра $O$. Следовательно, точка $A'$ расположена ближе к центру гомотетии.
Ответ: Точка $A'$.

б) $k > 1$

В данном случае коэффициент гомотетии $k$ больше 1. Так как $k > 1$, он является положительным числом, и, следовательно, $|k| = k$. Формула для расстояний также имеет вид: $OA' = k \cdot OA$. Поскольку по условию $k > 1$, то при умножении расстояния $OA$ на коэффициент $k$ мы получим значение, большее чем $OA$. Таким образом, выполняется неравенство $OA' > OA$. Это означает, что расстояние от точки $A'$ до центра $O$ больше, чем расстояние от точки $A$ до центра $O$. Следовательно, точка $A$ расположена ближе к центру гомотетии.
Ответ: Точка $A$.

50. Существуют ли прямые, которые переводятся гомотетией сами в себя?

Да, такие прямые существуют. Чтобы определить, какие именно, необходимо рассмотреть определение гомотетии и различные случаи.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ — это преобразование, при котором любая точка $M$ переходит в точку $M'$, такую что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Одним из ключевых свойств гомотетии является то, что она преобразует любую прямую $l$ в прямую $l'$, параллельную исходной прямой $l$. Прямая переходит сама в себя (является инвариантной), если её образ $l'$ совпадает с ней, то есть $l' = l$.

Проанализируем все возможные ситуации.

Случай 1: Коэффициент гомотетии $k = 1$

В этом случае векторное равенство принимает вид $\vec{OM'} = 1 \cdot \vec{OM}$, что означает, что точка $M'$ совпадает с точкой $M$ для любой точки плоскости. Такое преобразование называется тождественным. Каждая точка остается на своем месте, а значит, и любая прямая переходит сама в себя.

Случай 2: Коэффициент гомотетии $k \neq 1$

Здесь необходимо рассмотреть положение прямой относительно центра гомотетии $O$.

Подслучай 2а: Прямая $l$ проходит через центр гомотетии $O$.

Возьмем произвольную точку $M$ на прямой $l$. Так как $M$ лежит на прямой, проходящей через $O$, вектор $\vec{OM}$ направлен вдоль этой прямой. Ее образ, точка $M'$, определяется из соотношения $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Вектор $\vec{OM'}$ коллинеарен вектору $\vec{OM}$, следовательно, точка $M'$ также принадлежит прямой $l$. Таким образом, любая точка прямой $l$ отображается на точку этой же прямой. Чтобы доказать, что образ всей прямой $l$ совпадает с ней самой, нужно показать, что любая точка $P$ на прямой $l$ является образом некоторой точки $M$ с этой же прямой. Действительно, для любой точки $P \in l$ можно найти ее прообраз $M$ по формуле $\vec{OM} = \frac{1}{k}\vec{OP}$. Точка $M$ также будет лежать на прямой $l$. Следовательно, прямая $l$ переходит сама в себя.

Подслучай 2б: Прямая $l$ не проходит через центр гомотетии $O$.

Образ $l'$ прямой $l$ является прямой, параллельной $l$. Если бы прямая $l$ переходила сама в себя ($l' = l$), то образ любой ее точки $A$ должен был бы также лежать на $l$. Пусть $A$ — точка на прямой $l$. Ее образ $A'$ лежит на прямой $OA$ и удовлетворяет условию $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Поскольку $k \neq 1$, точка $A'$ не совпадает с $A$. Если $A'$ также лежит на $l$, то вся прямая $OA$ должна совпадать с прямой $l$. Но это означает, что прямая $l$ проходит через центр $O$, что противоречит нашему предположению. Следовательно, при $k \neq 1$ прямая, не проходящая через центр гомотетии, не может переходить сама в себя. Она переходит в другую прямую, параллельную ей.

Суммируя вышесказанное, можно сделать вывод, что инвариантными (переходящими в себя) прямыми при гомотетии являются:

1. Любая прямая, если коэффициент гомотетии $k=1$.

2. Любая прямая, проходящая через центр гомотетии, при любом ненулевом коэффициенте $k$.

Ответ: Да, существуют. Это любая прямая, проходящая через центр гомотетии. Также в частном случае, когда коэффициент гомотетии $k=1$, любая прямая плоскости переходит сама в себя.

51. Даны точки $A$, $B$ и гомотетичные им точки $A'$, $B'$ соответственно.

Можно ли найти центр данной гомотетии?

Да, в общем случае найти центр гомотетии возможно. Однако существуют частные случаи, когда это сделать нельзя или центр не является единственным.

Общий случай

По определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, для любой точки $A$ ее образ $A'$ лежит на прямой $OA$, причем выполняется векторное равенство $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$.

Это означает, что центр гомотетии $O$ всегда лежит на прямой, соединяющей любую точку с ее образом. В нашей задаче даны две пары таких точек: $(A, A')$ и $(B, B')$.

Следовательно, центр гомотетии $O$ должен одновременно принадлежать прямой $AA'$ и прямой $BB'$.

Таким образом, для нахождения центра гомотетии $O$ достаточно выполнить следующие построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $A'$.
2. Провести прямую через точки $B$ и $B'$.
3. Точка пересечения этих прямых и будет искомым центром гомотетии $O$.

Этот способ работает всегда, когда прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются в одной-единственной точке.

Частные случаи

Проблемы с нахождением центра возникают, когда прямые $AA'$ и $BB'$ не пересекаются (т.е. они параллельны) или совпадают.

1. Преобразование является параллельным переносом.
Если отрезки $AB$ и $A'B'$ равны по длине и параллельны, то есть $\vec{AB} = \vec{A'B'}$, то преобразование является параллельным переносом на вектор $\vec{v} = \vec{AA'}$. В этом случае $\vec{AA'} = \vec{BB'}$, и прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны (или совпадают, если точки $A, B, A', B'$ лежат на одной прямой). В этом случае говорят, что гомотетия имеет коэффициент $k=1$, но не является тождественным преобразованием. У такого преобразования нет центра в евклидовой плоскости (или говорят, что центр находится в бесконечности). Найти его невозможно.

2. Преобразование является тождественным.
Если $A = A'$ и $B = B'$, то преобразование является тождественным. Коэффициент гомотетии $k=1$. В этом случае любая точка плоскости может быть выбрана в качестве центра гомотетии, то есть центр не определяется однозначно.

3. Точки $A, B, A', B'$ лежат на одной прямой.
В этом случае прямые $AA'$ и $BB'$ совпадают. Однако центр $O$ все равно можно найти однозначно (он будет лежать на этой же прямой), за исключением случая, описанного в пункте 1 (когда $\vec{AA'} = \vec{BB'}$, то есть это параллельный перенос вдоль прямой).

Ответ: Да, найти центр данной гомотетии можно, построив его как точку пересечения прямых $AA'$ и $BB'$. Исключение составляют два случая:
1. Если преобразование является параллельным переносом ($\vec{AB} = \vec{A'B'}$ и $A \neq A'$), то конечного центра гомотетии не существует.
2. Если преобразование является тождественным ($A=A'$ и $B=B'$), то центром может быть любая точка плоскости, то есть он не определен однозначно.

52. Как расположены две окружности друг относительно друга, если их центром гомотетии является:

а) центр одной из окружностей;

б) точка, принадлежащая одной из данных окружностей?

а) Пусть окружность $C_2$ с центром $O_2$ и радиусом $r_2$ является образом окружности $C_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$ при гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $k$. По определению гомотетии, центры окружностей связаны соотношением $\vec{SO_2} = k \cdot \vec{SO_1}$.
В данном случае центром гомотетии является центр одной из окружностей. Предположим, что $S = O_1$.
Тогда векторное равенство принимает вид: $\vec{O_1O_2} = k \cdot \vec{O_1O_1}$.
Поскольку $\vec{O_1O_1}$ является нулевым вектором, то и $\vec{O_1O_2} = \vec{0}$.
Это означает, что точки $O_1$ и $O_2$ совпадают, то есть центры окружностей находятся в одной и той же точке.
Следовательно, окружности имеют общий центр, то есть они являются концентрическими. Их радиусы связаны соотношением $r_2 = |k|r_1$. Если $|k|=1$, то окружности совпадают, что является частным случаем концентрических окружностей.
Ответ: окружности являются концентрическими.

б) Пусть, как и в предыдущем пункте, окружность $C_2$ (центр $O_2$, радиус $r_2$) является образом окружности $C_1$ (центр $O_1$, радиус $r_1$) при гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $k$.
В данном случае центр гомотетии $S$ — это точка, принадлежащая одной из данных окружностей. Пусть точка $S$ лежит на окружности $C_1$.
Это означает, что расстояние от центра гомотетии $S$ до центра окружности $O_1$ равно ее радиусу: $|SO_1| = r_1$.
По свойству гомотетии, радиус окружности-образа $C_2$ равен $r_2 = |k|r_1$.
Также из определения гомотетии $\vec{SO_2} = k \cdot \vec{SO_1}$ следует, что для расстояний выполняется равенство $|SO_2| = |k| \cdot |SO_1|$. Подставив $|SO_1| = r_1$, получим $|SO_2| = |k|r_1$.
Сравнивая выражения для $r_2$ и $|SO_2|$, мы видим, что $|SO_2| = r_2$. Это означает, что точка $S$ также принадлежит и окружности $C_2$. Таким образом, $S$ — общая точка двух окружностей.
Из векторного равенства $\vec{SO_2} = k \cdot \vec{SO_1}$ следует, что точки $S$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Так как $S$ является общей точкой окружностей и лежит на линии их центров, $S$ — точка касания.
Рассмотрим два возможных случая в зависимости от знака коэффициента гомотетии $k$:
1. Если $k > 0$ (прямая гомотетия), то векторы $\vec{SO_1}$ и $\vec{SO_2}$ сонаправлены. Это означает, что центры $O_1$ и $O_2$ лежат по одну сторону от точки $S$. Расстояние между центрами окружностей равно $d(O_1, O_2) = ||SO_2| - |SO_1|| = |r_2 - r_1|$. Это является условием внутреннего касания окружностей, и точка $S$ — их точка касания.
2. Если $k < 0$ (обратная гомотетия), то векторы $\vec{SO_1}$ и $\vec{SO_2}$ противоположно направлены. Это означает, что точка $S$ лежит между точками $O_1$ и $O_2$. Расстояние между центрами окружностей равно $d(O_1, O_2) = |SO_1| + |SO_2| = r_1 + r_2$. Это является условием внешнего касания окружностей, и точка $S$ — их точка касания.
Следовательно, в обоих случаях окружности касаются друг друга.
Ответ: окружности касаются друг друга (внешним или внутренним образом), а центр гомотетии является их точкой касания.

53. Докажите, что любые две окружности подобны и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

Докажите, что любые две окружности подобны и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

По определению, две геометрические фигуры являются подобными, если одну из них можно получить из другой с помощью преобразования подобия. Преобразование подобия — это композиция (последовательное применение) движения (например, параллельного переноса) и гомотетии (преобразования, изменяющего все расстояния в одинаковое число раз).

Рассмотрим две произвольные окружности на плоскости: окружность $\Omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и окружность $\Omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

Чтобы доказать их подобие, мы должны показать, что существует преобразование подобия, которое переводит окружность $\Omega_1$ в окружность $\Omega_2$. Построим такое преобразование в два этапа:

1. Параллельный перенос. Выполним параллельный перенос плоскости на вектор $\vec{v} = \vec{O_1O_2}$. В результате этого преобразования центр $O_1$ окружности $\Omega_1$ перейдет в точку $O_2$, которая является центром окружности $\Omega_2$. Сама окружность $\Omega_1$ перейдет в новую окружность $\Omega'_1$, центр которой совпадает с центром $O_2$, а радиус останется прежним, то есть $R_1$, так как параллельный перенос является движением и сохраняет расстояния.

2. Гомотетия. Теперь у нас есть две концентрические окружности (с общим центром $O_2$): $\Omega'_1$ с радиусом $R_1$ и $\Omega_2$ с радиусом $R_2$. Применим к окружности $\Omega'_1$ преобразование гомотетии с центром в точке $O_2$ и коэффициентом $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Возьмем произвольную точку $M$ на окружности $\Omega'_1$. Расстояние от этой точки до центра $O_2$ равно $R_1$. Гомотетия преобразует точку $M$ в точку $M'$, такую, что $\vec{O_2M'} = k \cdot \vec{O_2M}$. Найдем расстояние от новой точки $M'$ до центра $O_2$:

$|O_2M'| = |k \cdot \vec{O_2M}| = |k| \cdot |O_2M| = \frac{R_2}{R_1} \cdot R_1 = R_2$.

Это означает, что любая точка $M$ с окружности $\Omega'_1$ после гомотетии переходит в точку $M'$, которая находится на расстоянии $R_2$ от центра $O_2$, то есть принадлежит окружности $\Omega_2$. Таким образом, гомотетия преобразует окружность $\Omega'_1$ в окружность $\Omega_2$.

Мы последовательно применили параллельный перенос и гомотетию и преобразовали окружность $\Omega_1$ в окружность $\Omega_2$. Композиция этих преобразований является преобразованием подобия. Следовательно, любые две окружности подобны.

Коэффициент подобия по определению равен модулю коэффициента гомотетии, использованного в преобразовании. В нашем случае он равен $k = \frac{R_2}{R_1}$. Это доказывает, что коэффициент подобия двух окружностей равен отношению их радиусов.

Ответ: Мы доказали, что любую окружность можно перевести в любую другую с помощью композиции параллельного переноса и гомотетии. Это по определению означает, что любые две окружности подобны. Коэффициент гомотетии, а следовательно, и коэффициент подобия, равен отношению радиусов этих окружностей $k = \frac{R_2}{R_1}$.

54. Постройте треугольник, гомотетичный данному, приняв за центр одну из вершин данного треугольника и коэффициент гомотетии, равный:

а) 3;

б) $\frac{1}{3}$;

а)

Для построения треугольника, гомотетичного данному с коэффициентом $k=3$ и центром в одной из его вершин, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его вершин в качестве центра гомотетии, например, вершину $A$.

2. Образом вершины $A$ при такой гомотетии будет сама точка $A$, так как она является центром. Обозначим её $A'$. Итак, $A' = A$.

3. Для нахождения образа вершины $B$, точки $B'$, должно выполняться векторное равенство $\vec{AB'} = 3 \cdot \vec{AB}$. Это означает, что точка $B'$ лежит на луче $AB$ и расстояние $AB'$ в три раза больше расстояния $AB$. Для построения нужно провести луч из точки $A$ через точку $B$ и отложить на нём от точки $A$ отрезок $AB'$, равный $3 \cdot AB$.

4. Аналогично находим образ вершины $C$, точку $C'$. Она должна удовлетворять равенству $\vec{AC'} = 3 \cdot \vec{AC}$. Точка $C'$ лежит на луче $AC$ и расстояние $AC'$ в три раза больше расстояния $AC$. Строим точку $C'$ так, чтобы $AC' = 3 \cdot AC$.

5. Соединяем точки $A$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $AB'C'$ является искомым треугольником.

Ответ: Построенный треугольник $AB'C'$ имеет с исходным треугольником $ABC$ общую вершину $A$, являющуюся центром гомотетии. Вершины $B'$ и $C'$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $AC$ соответственно, причём $AB' = 3 \cdot AB$ и $AC' = 3 \cdot AC$.

б)

Для построения треугольника, гомотетичного данному с коэффициентом $k=\frac{1}{3}$ и центром в одной из его вершин, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его вершин в качестве центра гомотетии, например, вершину $A$.

2. Образом вершины $A$ при гомотетии с центром в $A$ является сама точка $A$. Обозначим её $A'$, то есть $A' = A$.

3. Для нахождения образа вершины $B$, точки $B'$, должно выполняться равенство $\vec{AB'} = \frac{1}{3} \cdot \vec{AB}$. Это означает, что точка $B'$ лежит на отрезке $AB$, и её расстояние от $A$ составляет одну треть длины отрезка $AB$. Для построения точки $B'$ необходимо разделить отрезок $AB$ на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса) и выбрать точку деления, ближайшую к $A$.

4. Аналогично находим образ вершины $C$, точку $C'$. Она лежит на отрезке $AC$ и удовлетворяет условию $AC' = \frac{1}{3} AC$. Для этого отрезок $AC$ также нужно разделить на три равные части и выбрать точку деления, ближайшую к $A$.

5. Соединяем точки $A$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $AB'C'$ является искомым.

Ответ: Построенный треугольник $AB'C'$ имеет с исходным треугольником $ABC$ общую вершину $A$. Его вершины $B'$ и $C'$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ исходного треугольника соответственно, причём $AB' = \frac{1}{3}AB$ и $AC' = \frac{1}{3}AC$.

55. Стороны четырехугольника равны 14 см, 21 см, 10 см и 32 см. Найдите стороны подобного ему четырехугольника, если известно, что его меньшая сторона равна 20 см.

Пусть стороны данного четырехугольника равны $a_1 = 14$ см, $b_1 = 21$ см, $c_1 = 10$ см и $d_1 = 32$ см. Обозначим стороны подобного ему четырехугольника как $a_2, b_2, c_2, d_2$.

У подобных многоугольников отношение соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$. Это означает, что:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = \frac{d_2}{d_1} = k$

Сначала найдем наименьшую сторону первого четырехугольника. Сравнивая числа 14, 21, 10 и 32, видим, что наименьшая сторона равна 10 см.

В подобных фигурах наименьшая сторона одного многоугольника соответствует наименьшей стороне другого. По условию, наименьшая сторона второго четырехугольника равна 20 см.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$, разделив длину наименьшей стороны второго четырехугольника на длину соответствующей (наименьшей) стороны первого четырехугольника:

$k = \frac{20 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 2$

Зная коэффициент подобия, мы можем найти остальные стороны второго четырехугольника, умножив соответствующие стороны первого четырехугольника на $k=2$:

$a_2 = a_1 \cdot k = 14 \cdot 2 = 28$ см

$b_2 = b_1 \cdot k = 21 \cdot 2 = 42$ см

$d_2 = d_1 \cdot k = 32 \cdot 2 = 64$ см

Таким образом, стороны подобного четырехугольника равны 28 см, 42 см, 20 см (которая была дана) и 64 см.

Ответ: стороны подобного четырехугольника равны 28 см, 42 см, 20 см и 64 см.

56. Какие условия должны выполняться, чтобы были подобны два ромба?

По определению, два многоугольника считаются подобными, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Рассмотрим эти два условия применительно к ромбам.

1. Пропорциональность сторон.
Ромб — это четырёхугольник, у которого все четыре стороны равны. Пусть длина стороны первого ромба равна $a_1$, а второго — $a_2$. Поскольку все стороны одного ромба равны между собой, и все стороны второго также равны между собой, то отношение длин любых соответственных сторон всегда будет одинаковым и равным $k = \frac{a_1}{a_2}$. Таким образом, условие пропорциональности сторон для любых двух ромбов выполняется автоматически.

2. Равенство углов.
Так как условие пропорциональности сторон всегда выполнено, для подобия двух ромбов достаточно, чтобы их соответственные углы были равны. В ромбе, как и в любом параллелограмме, есть две пары равных углов (два острых и два тупых), а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Если хотя бы один угол одного ромба равен какому-либо углу другого, то и все остальные соответственные углы будут равны. Например, если острый угол $\alpha_1$ первого ромба равен острому углу $\alpha_2$ второго, то их тупые углы $\beta_1$ и $\beta_2$ также будут равны, так как $\beta_1 = 180^\circ - \alpha_1$ и $\beta_2 = 180^\circ - \alpha_2$.

Следовательно, основное условие подобия двух ромбов — это наличие у них равных углов.

Это условие можно выразить и через диагонали. Диагонали ромба $d_1$ и $d_2$ взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Углы ромба однозначно определяются соотношением его диагоналей. Для острого угла $\alpha$ справедливо соотношение $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_1}{d_2}$ (где $d_1$ — диагональ, противолежащая углу $\alpha$). Равенство углов у двух ромбов ($\alpha_1 = \alpha_2$) эквивалентно равенству отношений их диагоналей $(\frac{d_{1a}}{d_{1b}} = \frac{d_{2a}}{d_{2b}})$.

Таким образом, можно сформулировать два эквивалентных условия.

Ответ: Два ромба подобны, если выполняется любое из следующих условий:
1. Угол одного ромба равен углу другого ромба.
2. Отношение диагоналей одного ромба равно отношению диагоналей другого ромба.

57. Подобны ли любые два:

а) равносторонних треугольника;

б) равнобедренных треугольника, отличных от равносторонних;

в) равнобедренных прямоугольных треугольника?

Чтобы определить, подобны ли два треугольника, можно использовать один из признаков подобия. Самым удобным в данном случае является признак подобия по двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

а) равносторонних треугольника;
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. В таком треугольнике все углы также равны и составляют $180^\circ / 3 = 60^\circ$. Таким образом, у абсолютно любого равностороннего треугольника углы будут $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$. Поскольку у любых двух равносторонних треугольников соответственные углы равны, они подобны по первому признаку подобия (по двум или трем углам).
Ответ: да.

б) равнобедренных треугольника, отличных от равносторонних;
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. В таком треугольнике углы при основании равны. Однако величина этих углов может быть разной в разных равнобедренных треугольниках. Например, один равнобедренный треугольник может иметь углы $80^\circ, 50^\circ, 50^\circ$. Другой равнобедренный треугольник может иметь углы $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Так как наборы углов у этих треугольников различны, они не являются подобными. Следовательно, не любые два равнобедренных треугольника подобны друг другу.
Ответ: нет.

в) равнобедренных прямоугольных треугольника?
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны. Один из углов такого треугольника прямой, то есть равен $90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный (катеты равны), то углы при основании (гипотенузе) равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. На два равных острых угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, каждый из этих углов равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Таким образом, у любого равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Поскольку у любых двух таких треугольников все три угла соответственно равны, они подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.