Номер 47, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

47. Приведите примеры фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия.

Вопрос можно интерпретировать как поиск геометрических фигур, которые инвариантны (переходят сами в себя) относительно преобразования подобия (гомотетии) с некоторым определенным для каждой фигуры центром и произвольным положительным коэффициентом подобия $k$.

Примеры таких фигур:

Точка
Если центром подобия является сама точка, то при любом коэффициенте $k$ она отображается на себя. Это самый тривиальный пример.

Прямая
Если центр подобия выбрать на самой прямой, то при гомотетии с любым коэффициентом $k > 0$ любая точка прямой перейдет в другую точку этой же прямой. Таким образом, вся прямая перейдет сама в себя.

Луч
Если центр подобия совпадает с начальной точкой луча, то при гомотетии с любым положительным коэффициентом $k$ луч преобразуется сам в себя.

Угол
Угол представляет собой объединение двух лучей с общим началом (вершиной). Если в качестве центра подобия выбрать вершину угла, то каждый из лучей перейдет сам в себя, а значит, и весь угол перейдет в себя при любом $k > 0$.

Плоскость
Если центром подобия является любая точка плоскости, то вся плоскость при преобразовании подобия с любым коэффициентом перейдет сама в себя. Аналогично для всего пространства.

Логарифмическая спираль
Это более сложный, но классический пример. Логарифмическая спираль, описываемая в полярных координатах уравнением $r = a e^{b\theta}$, обладает уникальным свойством: преобразование подобия (масштабирование) с центром в ее полюсе (начале координат) эквивалентно повороту спирали вокруг этого же полюса. Это означает, что после масштабирования с любым коэффициентом $k$ новая фигура может быть совмещена с исходной путем поворота, то есть она ей конгруэнтна. Таким образом, она подобна самой себе нетривиальным образом.

Ответ: Точка, прямая, луч, угол, плоскость, логарифмическая спираль.