Номер 44, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

44. Докажите, что две окружности равны, если равны их радиусы.

По определению, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Наложение — это движение (или изометрия), то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Чтобы доказать, что две окружности равны, нужно показать, что одну из них можно наложить на другую так, чтобы они полностью совпали.

Пусть даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

По условию задачи, радиусы этих окружностей равны, то есть $R_1 = R_2$. Обозначим эту величину радиуса как $R$.

Совместим центр первой окружности $O_1$ с центром второй окружности $O_2$ с помощью параллельного переноса. Параллельный перенос является движением, поэтому он сохраняет форму и размеры фигуры. Следовательно, первая окружность перейдет в окружность с тем же радиусом $R_1=R$, но ее центр теперь будет находиться в точке $O_2$.

После этого преобразования мы имеем две окружности, у которых и центр (точка $O_2$), и радиус ($R$) совпадают.

По определению, окружность есть множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра). Так как у обеих окружностей один и тот же центр и один и тот же радиус, они состоят из одного и того же множества точек. Это означает, что они полностью совпадают.

Поскольку мы смогли совместить первую окружность со второй путем наложения (с помощью движения), то исходные окружности равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Две окружности с равными радиусами равны, так как одну можно совместить с другой путем параллельного переноса, который совместит их центры. После этого окружности полностью совпадут, так как будут представлять собой множество точек, равноудаленных на одно и то же расстояние (равный радиус) от одной и той же точки (совмещенного центра).