Страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая окружность называется единичной?

2. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ в случае $0^\circ < \varphi < 360^\circ$?

3. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ в случае $\varphi = 0^\circ$ и $\varphi = 360^\circ$?

4. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ в случае $\varphi > 360^\circ$?

5. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ для отрицательных градусных величин $\varphi$?

6. Какие тождества выполняются для синуса и косинуса в случае произвольных градусных величин?

7. Как определяются $tg\varphi$ и $ctg\varphi$ в случае произвольных градусных величин $\varphi$?

8. Для каких градусных величин $\varphi$ не определен: a) $tg\varphi$; б) $ctg\varphi$?

9. В чем состоит основное тригонометрическое тождество?

10. Как определяются тригонометрические функции для числового аргумента?

1. Какая окружность называется единичной?

Единичной окружностью называется окружность в декартовой системе координат, центр которой находится в начале координат (точка (0, 0)), а радиус равен единице. Уравнение единичной окружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

2. Как определяются sinф и cosф в случае 0° < ф < 360°?

Для определения синуса и косинуса угла $\phi$ используется единичная окружность. Возьмем начальную точку $P_0$ с координатами (1, 0). Повернем радиус $OP_0$ вокруг центра O на угол $\phi$ против часовой стрелки. Конечная точка этого поворота, лежащая на окружности, будет иметь координаты $(x, y)$.
Косинусом угла $\phi$ называется абсцисса (координата $x$) этой точки, а синусом угла $\phi$ — ее ордината (координата $y$).
Таким образом, $cos\phi = x$ и $sin\phi = y$.
Ответ: Косинус угла $\phi$ — это абсцисса, а синус — ордината точки на единичной окружности, полученной поворотом точки (1,0) на угол $\phi$.

3. Как определяются sinф и cosф в случае ф = 0° и ф = 360°?

В случае, когда угол поворота $\phi = 0^\circ$, поворота не происходит, и точка остается в начальном положении $P_0(1, 0)$. Следовательно, ее координаты $x=1$ и $y=0$. Отсюда:
$cos(0^\circ) = 1$
$sin(0^\circ) = 0$
В случае, когда угол поворота $\phi = 360^\circ$, точка совершает полный оборот и возвращается в то же самое начальное положение $P_0(1, 0)$. Поэтому значения синуса и косинуса для $360^\circ$ такие же, как и для $0^\circ$:
$cos(360^\circ) = 1$
$sin(360^\circ) = 0$
Ответ: Для $\phi = 0^\circ$ и $\phi = 360^\circ$ точка на единичной окружности имеет координаты (1, 0), поэтому $cos\phi = 1$ и $sin\phi = 0$.

4. Как определяются sinф и cosф в случае ф > 360°?

Если угол $\phi$ больше $360^\circ$, это означает, что точка на единичной окружности совершает один или несколько полных оборотов ($360^\circ$) и затем поворачивается на оставшийся угол. Любой такой угол можно представить в виде $\phi = \alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число (количество полных оборотов), а $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$.
Поскольку полный оборот возвращает точку в исходное положение, положение точки для угла $\phi$ будет таким же, как и для угла $\alpha$. Следовательно:
$sin\phi = sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin\alpha$
$cos\phi = cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos\alpha$
Это свойство называется периодичностью синуса и косинуса.
Ответ: Значения синуса и косинуса для угла $\phi > 360^\circ$ совпадают со значениями для угла $\alpha = \phi - 360^\circ \cdot k$, где $k$ — такое целое число, что $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$.

5. Как определяются sinф и cosф для отрицательных градусных величин ф?

Отрицательный угол $\phi$ означает поворот на ту же величину, но в противоположном направлении — по часовой стрелке. Если точка $P(x, y)$ на единичной окружности соответствует углу $\phi$, то повороту на угол $-\phi$ будет соответствовать точка $P'(x', y')$. Эта точка будет симметрична точке $P$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
При симметрии относительно оси Ox абсцисса точки не меняется, а ордината меняет знак на противоположный. Таким образом, $x' = x$ и $y' = -y$.
Отсюда следуют формулы:
$cos(-\phi) = x' = x = cos\phi$ (косинус — четная функция)
$sin(-\phi) = y' = -y = -sin\phi$ (синус — нечетная функция)
Ответ: $cos(-\phi) = cos\phi$ и $sin(-\phi) = -sin\phi$.

6. Какие тождества выполняются для синуса и косинуса в случае произвольных градусных величин?

Для синуса и косинуса произвольного угла $\phi$ выполняются следующие основные тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$.
2. Периодичность: $sin(\phi + 360^\circ \cdot k) = sin\phi$ и $cos(\phi + 360^\circ \cdot k) = cos\phi$, где $k$ — любое целое число.
3. Свойства четности и нечетности: $sin(-\phi) = -sin\phi$ (нечетная функция) и $cos(-\phi) = cos\phi$ (четная функция).
Ответ: Основные тождества: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$, $sin(\phi + 360^\circ k) = sin\phi$, $cos(\phi + 360^\circ k) = cos\phi$, $sin(-\phi) = -sin\phi$, $cos(-\phi) = cos\phi$.

7. Как определяются tgф и ctgф в случае произвольных градусных величин ф?

Тангенс ($tg\phi$) и котангенс ($ctg\phi$) для произвольного угла $\phi$ определяются как отношения синуса и косинуса этого угла.
Тангенс угла $\phi$ — это отношение синуса к косинусу:
$tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}$
Котангенс угла $\phi$ — это отношение косинуса к синусу:
$ctg\phi = \frac{cos\phi}{sin\phi}$
Эти определения имеют смысл только тогда, когда знаменатель в дроби не равен нулю.
Ответ: Тангенс определяется как $tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}$, а котангенс — как $ctg\phi = \frac{cos\phi}{sin\phi}$.

8. Для каких градусных величин ф не определен: а) tgф; б) ctgф?

а) tgф:
Тангенс $tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}$ не определен, когда его знаменатель $cos\phi$ равен нулю. На единичной окружности $cos\phi = 0$ в точках (0, 1) и (0, -1). Это соответствует углам $90^\circ$ и $270^\circ$, а также всем углам, которые отличаются от них на целое число полуоборотов ($180^\circ$).
Общая формула для таких углов: $\phi = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
б) ctgф:
Котангенс $ctg\phi = \frac{cos\phi}{sin\phi}$ не определен, когда его знаменатель $sin\phi$ равен нулю. На единичной окружности $sin\phi = 0$ в точках (1, 0) и (-1, 0). Это соответствует углам $0^\circ$ и $180^\circ$, а также всем углам, которые отличаются от них на целое число полуоборотов ($180^\circ$).
Общая формула для таких углов: $\phi = 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: а) $tg\phi$ не определен для $\phi = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$; б) $ctg\phi$ не определен для $\phi = 180^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число.

9. В чем состоит основное тригонометрическое тождество?

Основное тригонометрическое тождество гласит, что для любого угла $\phi$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.
Формула: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$.
Это тождество является прямым следствием определения синуса и косинуса через координаты $(x, y)$ точки на единичной окружности. Так как $x = cos\phi$ и $y = sin\phi$, а уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, то, подставив значения, получаем $(cos\phi)^2 + (sin\phi)^2 = 1$.
Ответ: Сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$.

10. Как определяются тригонометрические функции для числового аргумента?

Тригонометрические функции для числового аргумента (например, $sin(2,5)$) определяются через радианную меру угла. Числовой аргумент по умолчанию считается величиной угла в радианах.
Радианная мера — это способ измерения углов, основанный на длине дуги окружности. Угол в 1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Поскольку длина всей единичной окружности (радиус $r=1$) равна $2\pi$, то полный угол $360^\circ$ соответствует $2\pi$ радианам. Отсюда ключевое соотношение: $180^\circ = \pi$ радиан.
Чтобы найти, например, $sin(x)$ для числа $x$, нужно отложить от точки $(1, 0)$ по единичной окружности дугу длиной $x$ (против часовой стрелки, если $x > 0$, и по часовой, если $x < 0$). Ордината конечной точки этой дуги и будет значением $sin(x)$, а абсцисса — значением $cos(x)$. Остальные функции ($tg(x)$, $ctg(x)$) определяются через синус и косинус так же, как и для углов в градусах.
Ответ: Тригонометрические функции для числового аргумента $x$ определяются как функции угла, величина которого равна $x$ радиан.

1. На единичной окружности с центром в начале координат изобразите точку, полученную поворотом точки $A_0 (1; 0)$ на угол:

а) $450^{\circ}$; б) $540^{\circ}$; в) $-270^{\circ}$; г) $-300^{\circ}$.

а) 450°
Поворот точки на единичной окружности на угол, больший 360°, эквивалентен повороту на угол, равный остатку от деления исходного угла на 360°.
Найдем эквивалентный угол для 450°: $450° = 360° \cdot 1 + 90°$.
Таким образом, поворот на 450° против часовой стрелки эквивалентен повороту на 90° против часовой стрелки.
Начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$ и лежит на положительной полуоси Ox. Поворот на 90° перемещает эту точку на положительную полуось Oy.
Координаты новой точки $A_1(x, y)$ можно найти по формулам:
$x = \cos(450°) = \cos(90°) = 0$
$y = \sin(450°) = \sin(90°) = 1$
Полученная точка $A_1$ имеет координаты $(0; 1)$.
Ответ: Точка с координатами $(0; 1)$, которая находится на пересечении единичной окружности с положительной полуосью Oy.

б) 540°
Найдем эквивалентный угол для 540°: $540° = 360° \cdot 1 + 180°$.
Поворот на 540° против часовой стрелки эквивалентен повороту на 180° против часовой стрелки.
Поворот начальной точки $A_0(1; 0)$ на 180° перемещает ее в диаметрально противоположную точку на окружности, которая лежит на отрицательной полуоси Ox.
Координаты новой точки $A_2(x, y)$:
$x = \cos(540°) = \cos(180°) = -1$
$y = \sin(540°) = \sin(180°) = 0$
Полученная точка $A_2$ имеет координаты $(-1; 0)$.
Ответ: Точка с координатами $(-1; 0)$, которая находится на пересечении единичной окружности с отрицательной полуосью Ox.

в) -270°
Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, можно прибавить 360°.
$-270° + 360° = 90°$.
Поворот на -270° по часовой стрелке эквивалентен повороту на 90° против часовой стрелки. Этот случай совпадает с пунктом а).
Координаты новой точки $A_3(x, y)$:
$x = \cos(-270°) = \cos(90°) = 0$
$y = \sin(-270°) = \sin(90°) = 1$
Полученная точка $A_3$ имеет координаты $(0; 1)$.
Ответ: Точка с координатами $(0; 1)$, которая находится на пересечении единичной окружности с положительной полуосью Oy.

г) -300°
Найдем эквивалентный положительный угол для -300°: $-300° + 360° = 60°$.
Поворот на -300° по часовой стрелке эквивалентен повороту на 60° против часовой стрелки.
Поворот начальной точки $A_0(1; 0)$ на 60° перемещает ее в первую координатную четверть.
Координаты новой точки $A_4(x, y)$:
$x = \cos(-300°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-300°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Полученная точка $A_4$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: Точка с координатами $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, расположенная в I координатной четверти.

2. На какую градусную величину повернется минутная стрелка за:

а) 1 ч 45 мин;

б) 2 ч 30 мин;

в) 3 ч 20 мин?

Для решения задачи сначала определим, на какой угол поворачивается минутная стрелка за одну минуту. Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$. Минутная стрелка совершает этот оборот за 60 минут. Следовательно, ее угловая скорость равна:

$360^\circ \div 60 \text{ мин} = 6^\circ \text{/мин}$

Это означает, что за каждую минуту минутная стрелка поворачивается на $6^\circ$. Используя это значение, мы можем рассчитать угол поворота для каждого из заданных промежутков времени.

а) 1 ч 45 мин

Сначала переведем указанный промежуток времени полностью в минуты. В одном часе 60 минут.

$1 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 1 \times 60 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 45 \text{ мин} = 105 \text{ мин}$

Теперь умножим общее количество минут на угол поворота за одну минуту, чтобы найти итоговую градусную величину:

$105 \text{ мин} \times 6^\circ\text{/мин} = 630^\circ$

Ответ: минутная стрелка повернется на $630^\circ$.

б) 2 ч 30 мин

Переведем время в минуты:

$2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 150 \text{ мин}$

Умножим полученное количество минут на скорость поворота стрелки:

$150 \text{ мин} \times 6^\circ\text{/мин} = 900^\circ$

Ответ: минутная стрелка повернется на $900^\circ$.

в) 3 ч 20 мин

Переведем время в минуты:

$3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 \times 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 200 \text{ мин}$

Умножим полученное количество минут на скорость поворота стрелки:

$200 \text{ мин} \times 6^\circ\text{/мин} = 1200^\circ$

Ответ: минутная стрелка повернется на $1200^\circ$.

3. Точка A получена в результате поворота точки $A_0(1; 0)$ на угол: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$. Чему равны координаты точки A?

Для нахождения координат точки A, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0; y_0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, используются следующие формулы:

$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$

$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В данном случае начальная точка — это $A_0(1; 0)$, поэтому $x_0 = 1$ и $y_0 = 0$. Подставим эти значения в формулы:

$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, координаты искомой точки A для каждого угла $\alpha$ будут $( \cos \alpha, \sin \alpha )$.

Теперь найдем координаты для каждого заданного угла.

а) Поворот на угол $30^\circ$.
$x = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Ответ: $A(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$

б) Поворот на угол $45^\circ$.
$x = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $A(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

в) Поворот на угол $60^\circ$.
$x = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $A(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

г) Поворот на угол $90^\circ$.
$x = \cos(90^\circ) = 0$
$y = \sin(90^\circ) = 1$
Ответ: $A(0; 1)$

4. Точка А получена в результате поворота точки $A_0 (1; 0)$ на угол: а) $120^\circ$; б) $135^\circ$; в) $150^\circ$; г) $180^\circ$. Чему равны координаты точки А?

Для нахождения координат точки A, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0; y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, используются формулы:

$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$

$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В нашем случае начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, координаты точки A, полученной поворотом точки $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Рассчитаем координаты для каждого из заданных углов.

а) Для угла поворота $\alpha = 120°$ координаты точки A будут $(\cos(120°); \sin(120°))$.
Используя формулы приведения, находим значения синуса и косинуса:
$x = \cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -1/2$
$y = \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $A(-1/2; \frac{\sqrt{3}}{2})$

б) Для угла поворота $\alpha = 135°$ координаты точки A будут $(\cos(135°); \sin(135°))$.
Используя формулы приведения, находим значения синуса и косинуса:
$x = \cos(135°) = \cos(180° - 45°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

в) Для угла поворота $\alpha = 150°$ координаты точки A будут $(\cos(150°); \sin(150°))$.
Используя формулы приведения, находим значения синуса и косинуса:
$x = \cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = 1/2$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1/2)$

г) Для угла поворота $\alpha = 180°$ координаты точки A будут $(\cos(180°); \sin(180°))$.
Это табличные значения тригонометрических функций:
$x = \cos(180°) = -1$
$y = \sin(180°) = 0$
Ответ: $A(-1; 0)$

5. Точка А получена в результате поворота точки $A_0(1; 0)$ на угол:

а) $210^\circ$; б) $225^\circ$; в) $240^\circ$; г) $270^\circ$. Чему равны координаты точки А?

Для нахождения координат точки А, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0; y_0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, используются общие формулы поворота:
$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$
$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В данной задаче начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$, следовательно $x_0=1$ и $y_0=0$. Подставив эти значения в формулы, мы их упростим:
$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$
$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, координаты искомой точки A для каждого заданного угла $\alpha$ будут равны $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Теперь рассчитаем координаты для каждого случая.

а) Угол поворота $\alpha = 210^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(210^{\circ}); \sin(210^{\circ}))$.
Используя формулы приведения, найдем значения синуса и косинуса:
$x = \cos(210^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(210^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

б) Угол поворота $\alpha = 225^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(225^{\circ}); \sin(225^{\circ}))$.
$x = \cos(225^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(225^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Угол поворота $\alpha = 240^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(240^{\circ}); \sin(240^{\circ}))$.
$x = \cos(240^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(240^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin(60^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $A(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

г) Угол поворота $\alpha = 270^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(270^{\circ}); \sin(270^{\circ}))$.
Эти значения являются табличными:
$x = \cos(270^{\circ}) = 0$
$y = \sin(270^{\circ}) = -1$
Ответ: $A(0; -1)$.

6. Точка A получена в результате поворота точки $A_0(1; 0)$ на угол:

а) $300^\circ$;

б) $315^\circ$;

в) $330^\circ$;

г) $360^\circ$. Чему равны координаты точки A?

Для нахождения координат точки $A(x, y)$, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0, y_0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, используются формулы: $x = x_0 \cos(\alpha) - y_0 \sin(\alpha)$ и $y = x_0 \sin(\alpha) + y_0 \cos(\alpha)$. В нашем случае исходная точка $A_0(1; 0)$, поэтому $x_0=1$ и $y_0=0$. Формулы упрощаются до: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Таким образом, координаты искомой точки $A$ для каждого случая будут $(\cos(\alpha); \sin(\alpha))$.

а) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 300^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(300^\circ)$ и $y = \sin(300^\circ)$.Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен. Используя формулы приведения, получаем:$x = \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.$y = \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $A(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 315^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(315^\circ)$ и $y = \sin(315^\circ)$.Угол $315^\circ$ находится в IV четверти. Используя формулы приведения, получаем:$x = \cos(315^\circ) = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$y = \sin(315^\circ) = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $A(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 330^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(330^\circ)$ и $y = \sin(330^\circ)$.Угол $330^\circ$ находится в IV четверти. Используя формулы приведения, получаем:$x = \cos(330^\circ) = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$y = \sin(330^\circ) = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.Ответ: $A(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

г) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 360^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(360^\circ)$ и $y = \sin(360^\circ)$.Поворот на $360^\circ$ является полным оборотом и возвращает точку в ее исходное положение.$x = \cos(360^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$.$y = \sin(360^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$.Координаты точки $A$ совпадают с координатами точки $A_0$.Ответ: $A(1; 0)$.

7. Найдите:

а) $\sin(-30^\circ)$;

б) $\sin(-150^\circ)$;

в) $\cos(420^\circ)$;

г) $\cos(-135^\circ)$.

а) Для нахождения значения $sin(-30°)$ воспользуемся свойством нечетности функции синус, согласно которому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

Применяя это свойство, получаем:

$sin(-30°) = -sin(30°)$

Значение $sin(30°)$ является стандартным табличным значением и равно $1/2$.

Следовательно, $sin(-30°) = -1/2$.

Ответ: $-1/2$

б) Для нахождения значения $sin(-150°)$ также используем свойство нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-150°) = -sin(150°)$

Чтобы найти $sin(150°)$, можно воспользоваться формулой приведения. Представим угол $150°$ как разность $180° - 30°$. Формула приведения для синуса: $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$.

$sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°)$

Мы знаем, что $sin(30°) = 1/2$.

Таким образом, $sin(-150°) = -sin(150°) = -1/2$.

Ответ: $-1/2$

в) Для нахождения значения $cos(420°)$ воспользуемся свойством периодичности функции косинус. Период косинуса равен $360°$, поэтому $cos(\alpha + 360° \cdot n) = cos(\alpha)$, где $n$ – любое целое число.

Представим угол $420°$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360°$:

$420° = 360° + 60°$

Это означает, что мы можем отбросить полный оборот в $360°$ без изменения значения косинуса:

$cos(420°) = cos(360° \cdot 1 + 60°) = cos(60°)$

Значение косинуса $60°$ является табличным и равно $1/2$.

Ответ: $1/2$

г) Для нахождения значения $cos(-135°)$ воспользуемся свойством четности функции косинус, согласно которому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Применяя это свойство, получаем:

$cos(-135°) = cos(135°)$

Чтобы найти $cos(135°)$, применим формулу приведения. Представим угол $135°$ как разность $180° - 45°$. Формула приведения для косинуса: $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$.

$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$

Табличное значение $cos(45°)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $cos(-135°) = -cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$